天水市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

天水市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．设全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A. B.4，
C. D.3，
3．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）
A.a＝b<c B.a＝b>c
C.a<b<c D.a>b>c
4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则
A. B.
C. D.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（　　）
A. B.
C. D.
6．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
7．过定点（1,0）的直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）
A.2x+y-12＝0 B.x-2y-1＝0或2x-5y＝0
C.x-2y-1＝0 D.2x+y-12＝0或2x-5y＝0
9．已知，，，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，则的值为（ ）
A.-4 B.
C. D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．命题，，则为______.
12．不等式x2-5x+6≤0的解集为______.
13．已知，写出一个满足条件的的值：______
14．若在上是减函数，则a的最大值是___________.
15．在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.
16．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数，关于x的不等式<0的解集为
（1）求实数m、n的值；
（2）当时，解关于x的不等式；
（3）当是否存在实数a，使得对任意时，关于x的函数有最小值-5.若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由
18．已知
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数的值域为，求实数的范围
19．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明.
20．已知，且α是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.

（1）求的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
2、C
【解析】由集合，，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选．
【点睛】考查列举法的定义，以及图表示集合的方法,属于基础题．
3、B
【解析】利用对数的运算性质求出a、b、c的范围，即可得到正确答案.
【详解】因为a＝log23＋log2＝log2＝log23>1，b＝log29－log2＝log2＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.
故选：B
4、A
【解析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可
【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）
故选A
【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
5、B
【解析】 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，
又因为为奇函数，所以，
所以，，
，
所以，故选B.
6、C
【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
7、C
【解析】画出示意图，结合图形及两点间的斜率公式，即可求解.
【详解】作示意图如下：

设定点为点，则
，，
故由题意可得的取值范围是
故选：C
【点睛】本题考查两点间直线斜率公式的应用，要特别注意，直线与线段相交时直线斜率的取值情况.
8、D
【解析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.
【详解】当直线过原点时，直线方程为，即.
当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，
所以直线方程为.
故选：D
9、B
【解析】分别判断与0,1等的大小关系判断即可.
【详解】因为.故.又,故.又,故.所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.
10、A
【解析】由题 ，解得.故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】由全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题为全称命题，
所以为“，”.
故答案为：，.
12、
【解析】根据二次函数的特点即可求解.
【详解】由x2-5x+6≤0，可以看作抛物线，
抛物线开口向上，与x轴的交点为，
∴，即原不等式的解集为 .
13、（答案不唯一）
【解析】利用，可得，，计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，
则，或，
故答案为：（答案不唯一）
14、
【解析】
求出导函数，然后解不等式确定的范围后可得最大值
【详解】由题意，，，，，，
，∴，的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．
15、 ①.##0.75 ②.##-0.6
【解析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果
【详解】由三角函数的定义及已知可得：
，
所以
又
故答案为：，
16、
【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积
【详解】
∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，
∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5, ，
则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.
设长方体的棱长分别为x,y,z,
则，

∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，
∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.
故答案为：26π.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）答案见解析；（3）存在，.
【解析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.
（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.
【小问1详解】
依题意，不等式的解集是，因此，是关于x的一元二次方程的二根，且，
于得，解得，
所以实数m、n的值是：.
【小问2详解】
当时，由（1）知：，
当时，，解得：或，
当时，解得，
当时，不等式化：，解得：，
所以，当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是.
【小问3详解】
假设存在实数满足条件，由（1）知，，，
因，则设，函数化为：，显然，
于是得在上单调递减，当时，，
由解得：或（舍去），又，
所以存在实数满足条件，.
【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式，首先注意二次项系数是否含有参数，如果有，必须按二次项系为正、零、负三类讨论求解.
18、（1），
（2）
【解析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；
【小问1详解】
解：对于函数，
令，，
求得，
故函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
解：令，，解得，．即时取得最大值
因为当时，取到最大值，所以
又函数在上是减函数，且，
故的最大值为内使函数值为的值，
令，即，因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围是
19、（1）
（2）函数为偶函数，证明见解析
（3）函数在区间上单调递减，证明见解析
【解析】（1）根据对数的真数部分大于零列不等式求解；
（2）根据可证明为偶函数；
（3），，且，计算变形，判断符号即可判断出单调性.
【小问1详解】
根据题意，有得.
所以函数的定义域为.
【小问2详解】
函数为偶函数.
证明：函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数.
【小问3详解】
函数在区间上单调递减.
证明：，，且有
，
因为，

又
所以.
所以，即.
所以函数在区间上单调递减
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据三角函数的同角关系求得，结合角的象限即可得出结果；
(2)利用诱导公式将原式化简即可得出结果.
【小问1详解】
因为，所以.
因为α是第二象限角，所以.
【小问2详解】
.
21、（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
【解析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；
（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；
（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.
【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，解得，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.