上海市金山区上海交大南洋中学2026届数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

上海市金山区上海交大南洋中学2026届数学高一上期末学业水平测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. B.
C. D.
2．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
3．函数的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数部分图象如图所示，则

A. B.
C. D.
5．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A.的图像关于中心对称
B.在上单调递减
C.的图像关于对称
D.的最大值为3
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（）

A. B.
C. D.
7．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为是（ ）
A. B.
C. D.
8．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B.
C. D.
9．定义运算：，则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
10．下列关系中，正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知定义在上的偶函数，当时，，则________
12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________.
13．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积与时间t（年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由降至．则使污染区域的面积继续降至还需要_______年
14．两平行直线与之间的距离______.
15．在上，满足的取值范围是______.
16．已知点是角终边上一点，且，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数为定义在R上的奇函数
（1）求实数m，n的值；
（2）解关于x的不等式
18．已知函数是定义在上奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
19．已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有，
（1）求，并证明函数在上是奇函数；
（2）验证函数是否满足这些条件；
（3）若，试求函数的零点.
20．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程
21．已知函数
（1）若，，求；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．求函数的单调递增区间
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由题意可知旋转后的几何体如图: 
直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为
故选C.
考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.
2、D
【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π =3πa2
故答案为D．
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．
3、C
【解析】先利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解.
【详解】，
所以当时，取得最大值，
故选：C
4、C
【解析】由图可以得到周期，然后利用周期公式求，再将特殊点代入即可求得的表达式，结合的范围即可确定的值.
【详解】由图可知，，则，所以，
则.将点代入得，
即 ，解得，
因为，所以.答案为C.
【点睛】已知图像求函数解析式的问题：
（1）：一般由图像求出周期，然后利用公式求解.
（2）：一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.
（3）：一般将已知点代入即可求得.
5、B
【解析】根据三角函数的性质，依次整体代入检验即可得答案.
【详解】解:对于A选项,当时,,所以是的对称中心,故A选项正确;
对于B选项,当时, ,此时函数在区间上不单调，故B选项错误；
对于C选项，当时,，所以的图像关于对称，故C选项正确；
对于D选项，的最大值为，故D选项正确.
故选：B
6、D
【解析】结合P点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可
【详解】解：P点在AD上时，△APQ是等腰直角三角形，
此时f（x）＝•x•x＝x2，（0＜x＜2）是二次函数，排除A，B，
P在DC上时，PQ不变，AQ增加，是递增的一次函数，排除C，
故选D
【点睛】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题
7、C
【解析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可.
【详解】对A，的定义域为，故A错误；
对B，是偶函数，故B错误；
对C，令，的定义域为，且，所以为奇函数，故C正确.
对D，的定义域为，故D错误.
故选：C.
8、C
【解析】根据数量积的运算律得到，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，即，
即，所以，即与的夹角为；
故选：C
9、A
【解析】先求解析式，再判断即可
详解】由题意
故选：A
【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题
10、C
【解析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.
【详解】对于A，，所以A错误；
对于B，不是整数，所以，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，因为不含任何元素，则，所以D错误.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、6
【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.
【详解】是偶函数，
.
故答案6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.
12、
【解析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.
故答案为：.
13、2
【解析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由降至，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至还需要的年数.
【详解】设相隔为t年的两个年份湖泊污染区域的面积为和，则可设
由题设知，，，，即，解得，
假设需要x年能将至，即，，，解得
所以使污染区域的面积继续降至还需要2年.
故答案为：2
14、2
【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.
【详解】直线与平行
由平行线间距离公式可得
故答案为:2
【点睛】本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.
15、
【解析】结合正弦函数图象可知时，结合的范围可得到结果.
【详解】

本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数值的范围求解角所处的范围，关键是能够熟练应用正弦函数图象得到对应的自变量的取值集合.
16、
【解析】由三角函数定义可得,进而求解即可
【详解】由题,,所以,
故答案为：
【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）答案详见解析
【解析】（1）利用以及求得的值.
（2）利用函数的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【小问1详解】
由于是定义在R上的奇函数，
所以，
所以，
由于是奇函数，所以，
所以，
即，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
任取，，
由于，所以，，
所以在上递增.
不等式，
即，，
，，
，，①.
当时，①即，不等式①的解集为空集.
当时，不等式①的解集为.
当时，不等式①的解集为.
18、（1），；
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知条件，为奇函数，利用可以求解出参数b，然后带入到即可求解出参数a，得到函数解析式后再去验证函数是否满足在上的奇函数即可；
（2）由第（1）问求解出的函数解析式，任取，，做差，通过因式分解判断差值的符号，即可证得结论.
【小问1详解】
由已知条件，函数是定义在上的奇函数，所以，，所以，所以，
检验，为奇函数，满足题意条件；
所以，.
小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，，

；
其中，，所以，
故在上单调递增.
19、 (1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论
根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证
用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解
【详解】（1）对条件中的，令得.
再令可得
所以在（－1，1）是奇函数.
(2)由可得，其定义域为（-1，1），

当时， ∴ ∴
故函数是满足这些条件.
（3）设，则
，，
由条件②知，从而有，即
故上单调递减，
由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.

原方程即为，在(-1,1)上单调

又
故原方程的解为.
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量
20、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25
（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；
（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
小问2详解】
若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：
①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；
②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，
此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；
综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
21、（1）
（2）
【解析】（1）由平方关系求出，再由求解即可；
（2）由伸缩变换和平移变换得出的解析式，再由正弦函数的性质得出函数的单调递增区间
【小问1详解】
依题意，
因为，所以，所以
从而
【小问2详解】
将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象
再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象
令，的单调递增区间是
所以，，解得，
所以函数的单调递增区间为