2025年广东省深圳实验学校数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年广东省深圳实验学校数学高一第一学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，，则（）
A. B.
C. D.
2．如图，四面体ABCD中，CD=4，AB=2，F分别是AC，BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小是（）

A.30° B.45°
C.60° D.90°
3．已知函数，，如图所示，则图象对应的解析式可能是（）

A. B.
C. D.
4．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
5．设，，则正实数，的大小关系为
A. B.
C. D.
6．已知，则（）
A. B.7
C. D.1
7．已知三个函数，，的零点依次为、、，则
A. B.
C. D.
8．已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
9．对于空间中的直线，以及平面，，下列说法正确的是
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若 ，，，则
D.若，，，则
10．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为（）
A. B.
C. D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知为角终边上一点，且，则______
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分别是棱A1B1、A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为______
13．已知幂函数在上单调递减，则______
14．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______
15．已知幂函数的图象过点______
16．比较大小：________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，求BC边上的高所在的直线的方程
18．已知二次函数满足条件和，
（1）求；
（2）求在区间（）上的最小值
19．（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②
20．已知集合，集合.
（1）若，求和
（2）若，求实数的取值范围.
21．已知集合，
（1）当m=5时，求A∩B，；
（2）若，求实数m取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可
【详解】，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
2、A
【解析】取BC的中点G,连结FG,EG.先证明出（或其补角）即为EF与CD所成的角.在直角三角形△EFG中，利用正弦的定义即可求出的大小.
【详解】取BC的中点G,连结FG,EG.

由三角形中位线定理可得：AB∥EG，CD∥FG.所以（或其补角）即为EF与CD所成的角.
因为EF⊥AB,则EF⊥EG.
因为CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,则△EFG是一个斜边FG=2,一条直角边EG=1的直角三角形,所以,因为为锐角，所以，
即EF与CD所成的角为30°.
故选:A
3、C
【解析】利用奇偶性和定义域，采取排除法可得答案.
【详解】显然和为奇函数，
则和为奇函数，排除A，B，
又定义域为，排除D
故选：C
4、A
【解析】将平方可得，再利用向量夹角公式可求出.
【详解】，是单位向量，，
，，即，
即，解得，
则向量，夹角的余弦值为.
故选：A.
5、A
【解析】由，知，，又根据幂函数的单调性知，，故选A
6、A
【解析】利用表示，代入求值.
【详解】，即，
.
故选：A
7、C
【解析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.
【详解】令，得出，令，得出，
则函数与函数、交点的横坐标分别为、.
函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，
如下图所示：

联立，得，则点，
由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，
由题意得，解得，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8、D
【解析】利用二次方程实根分布列式可解得.
【详解】设,
根据二次方程实根分布可列式:,即,
即,解得:.
故选D.
【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.
9、D
【解析】根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项
【详解】对于A选项，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C选项，的夹角不一定为90°，故C错误；因为，故，因为，故，故D正确，故选D.
【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系的判断，属于基础题.
10、D
【解析】根据已知条件，推出，再根据，即可得出答案.
【详解】由题意得：，解得，所以，解得：，
故选：D
【点睛】本题考查幂函数的解析式，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】利用三角函数定义可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定义计算得解
【详解】由三角函数定义可得：，解得：，则，
所以，，
.
故答案为：.
12、
【解析】解：如图，将EF平移到A1B1，再平移到AC，
则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角
三角形B1AC为等边三角形，
故异面直线AB1与EF所成的角60°，
13、##
【解析】依题意得且，即可求出，从而得到函数解析式，再代入求值即可；
【详解】解：由题意得且，则，，故
故答案为：
14、
【解析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.
【详解】当时，即当时，由，可得；
当时，即当时，由，可得（舍）.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
15、3
【解析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案
【详解】设幂函数为常数，
幂函数的图象过点，，解得

故答案为3
【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键
16、<
【解析】利用诱导公式，将角转化至同一单调区间，根据单调性，比较大小.
【详解】，，
又在内单调递增，由
所以，即<.
故答案为：<.
【点睛】本题考查了诱导公式，利用单调性比较正切值的大小，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】设所求直线方程的斜率为k.根据以，先求出高所在直线的斜率，进而利用点斜式即可求出；
【详解】设所求直线方程的斜率为k.
因为所求直线与直线BC垂直,所以

所以垂线方程为即.
【点睛】熟练掌握两条直线垂直与斜率的关系、点斜式是解题的关键
18、（1）；（2）.
【解析】(1)由二次函数可设,再利用进行化简分析即可.
(2)由(1)可知,对称轴为，通过讨论的范围，根据函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】(1)由二次函数可设，
因为,故，
即,即，
故,即，
故；
（2）函数的对称轴为，
则当，即时，在单调递减，；
当，即时，；
当时，在单调递增，，
.
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解以及二次函数最值的问题等,属于中等题型.
19、（1）；；；（2）①；②
【解析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）求出，再利用齐次式即可求解.
【详解】（1）是角终边上一点，
则，
，
.
（2）由，则，
①.
②

20、（1），；（2）.
【解析】⑴把代入求出，，即可得到和
⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；
解析：（1）若，则．
，
（2）因为 ,
若，则，
若，则或，
综上，
21、（1），
（2）
【解析】（1）根据集合的交集、并集运算即得解；
（2）转化为，分，两种情况讨论，列出不等式控制范围，求解即可
【小问1详解】
（1）当时，可得集合，，
根据集合的运算，得，.
【小问2详解】
解：由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上实数的取值范围是.