2025年福建省莆田第四中学、莆田第六中学数学高二第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年福建省莆田第四中学、莆田第六中学数学高二第一学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）
A. B.
C. D.
3．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（ ）
A.总体 B.个体
C.样本 D.样本容量
4．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（）
A. B.
C. D.
5．直线被圆所截得的弦长为（）
A. B.
C. D.
6．若圆的半径为，则实数（）
A. B.-1
C.1 D.
7．球O为三棱锥的外接球，和都是边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，则球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
9．已知分别表示随机事件发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（ ）
A 事件同时发生
B.事件至少有一个发生
C.事件都不发生
D 事件至多有一个发生
10．已知实数，满足，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（ ）
A.24 B.36
C.48 D.60
12．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小值为______.
14．已知，且，则_____________
15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.
16．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求
18．（12分）已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上
（1）求圆C的方程；
（2）直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值
19．（12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点

（1）求证：平面平面PBC；
（2）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值
20．（12分）已知直线，圆.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由
22．（10分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.
【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；
若命题为真，则的值域包含，
则或，；
为真，为假，一真一假，
若真假，则；若假真，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
2、C
【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.
【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，
依题意，，整理得：，
对于A，当时，，不满足题意，排除A；
对于D，当时，，不满足题意，排除D；
对于B，当时，，
对于C，当时，，
直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，
由解得：，于是得的外心，
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，
显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，
由解得，即点为的外心，并且在直线上，
边AB上的高所在直线：，即，
边BC上的高所在直线：，即，
由解得：，则的垂心，此时有，
即的垂心在直线上，选项C满足题意.
故选：C
【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.
3、C
【解析】由样本的概念即知.
【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.
4、A
【解析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值.
【详解】设点与，
则，，
所以，，
又点与在椭圆上，
所以，，
作差可得，
即，
所以，
故选：A.
5、A
【解析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故选：A.
6、B
【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.
【详解】由题意，圆的方程可化为，
所以半径为，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
7、B
【解析】取中点为T，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.
【详解】设中点为T，的外心为，的外心为，
如图

由和均为边长为的正三角形
则和的外接圆半径为，
又因为平面PBC平面ABC， 所以平面，可知
且，过分别作平面、平面的垂线相交于
点即为三棱锥的外接球的球心，
且四边形是边长为的正方形，
所以外接球半径，
则球的表面积为，
故选：B
8、B
【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.
故选：B.
9、C
【解析】表示事件至少有一个发生概率，据此得到答案.
【详解】分别表示随机事件发生的概率，
表示事件至少有一个发生的概率，故表示事件都不发生的概率.
故选：C.
10、A
【解析】将化成，即可求出的最小值
【详解】由可化为，所以，解得，因此最小值是
故选：A
11、A
【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.
【详解】由题意知，.
根据椭圆定义可知，是直角三角形，.
故选：A.
12、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
14、2
【解析】由共线向量得，解方程即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：2
15、
【解析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.
【详解】∵的定义域为，，
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，
由得，，
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，
∵，令得：0<x<1；令得：x>1；
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；
作出和的图像如图，

所以，即，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
16、
【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；
【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）设直径两端点分别为，，由中点公式求参数a、b，进而求半径，即可得圆C的方程；
（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求，再由圆心到直线l的距离求P到直线l的距离的最大值，即可得△PMN面积的最大值
【小问1详解】
设直径两端点分别为，，则，，
所以，，则圆C半径，
所以C的方程为
【小问2详解】
圆心C到直线l的距离，则，
点P到直线l的距离的最大值为，
所以，△PMN面积的最大值为
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.
【小问1详解】

如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，，
而平面平面ABCD，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
而，故，
因，故平面，因平面，
故，因，故平面，
而平面，故平面平面.
【小问2详解】
连接，因为，故四边形为平行四边形，
而，故四边形为矩形，所以，
由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，

则
所以，，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，
故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）直线方程变形后令的系数等于0消去参数即可求得定点坐标.
（2）先求出圆心C到直线l距离，然后用勾股定理即可求得弦长.
【小问1详解】
，
联立得：
即直线l过定点（.
【小问2详解】
由题意直线l的斜率，即，
∴，
圆，圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
21、（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的单位向量，从而可证明线面平行.
(2) 令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.
【详解】证明：过作于点，则，以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系
则，，， ，，，
∵ 为的中点．∴ ．则，，
，设平面的法向量为，则
令，则，，∴ ．∴ ，即，
又平面．∴ 平面

解：令，，设，
∴ ．∴ ，
∴  .由知，平面的法向量为.
∵ 直线与平面所成角的正弦值为，
∴ ，化简得，
即，∵，∴，故
【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，考查了平面法向量的求解，属于中档题.
22、
【解析】由，为真，可得对任意的恒成立，从而分和求出实数的取值范围，再由，，可得关于的方程有实根，则有，从而可求出实数的取值范围，然后求交集可得结果
【详解】解：可化为.
若：，为真，
则对任意的恒成立.
当时，不等式可化为，显然不恒成立，
当时，有且，
所以.①
若：，为真，
则关于的方程有实根，
所以，即，
所以或.②
又为真命题，故，均为真命题.
所以由①②可得的取值范围为.