2026届黑龙江省五校联考高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届黑龙江省五校联考高一数学第一学期期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
3．函数是指数函数，则的值是
A.4 B.1或3
C.3 D.1
4．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
5．圆与圆的位置关系是（ ）
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
6．函数，则的最大值为（）
A. B.
C.1 D.
7．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
8．函数的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
9．已知直线x+3y+n=0在x轴上的截距为-3，则实数n的值为（　　）
A. B.
C. D.
10．已知幂函数过点，则在其定义域内（）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.有最大值 D.有最小值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______
13．若不等式的解集为，则______，______
14．定义域为R，值域为的一个减函数是___________.
15．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.
16．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若，求的解集；
（2）若为锐角，且，求的值.
18．已知函数，且
（1）证明函数在上是增函数
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
19．已知函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求实数k的取值范围；
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求实数m的取值范围．（附：函数g（t）＝t在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）
20．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
21．已知函数
（1）求函数的最小值；
（2）求函数的单调递增区间
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】∵，，，，
∴函数的零点所在区间是
故选B
点睛：函数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得 这个也就是方程的根．由此可判断根所在区间.
2、B
【解析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】设扇形所在圆半径r，则扇形弧长，而，
由此得，所以扇形的面积.
故选：B
3、C
【解析】由题意，解得．故选C
考点：指数函数的概念
4、C
【解析】联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C.
5、D
【解析】根据两圆的圆心距和两半径的和与差的关系判断.
【详解】因为圆与圆的圆心距为：
两圆的半径之和为：，
所以两圆相外切，
故选：D
6、C
【解析】，然后利用二次函数知识可得答案.
【详解】，
令，则，
当时，，
故选：C
7、B
【解析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得
故选：B.
8、C
【解析】根据诱导公式变性后，利用正弦函数的递减区间可得结果.
【详解】因为，
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
9、B
【解析】根据题意，分析可得点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，将点的坐标代入直线方程，计算可得答案
【详解】根据题意，直线x+3y+n=0在x轴上的截距为﹣3，
则点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，即（﹣3）×+n=0，
解可得：n=3；
故选B
【点睛】本题考查直线的一般式方程以及截距的计算，关键是掌握直线一般方程的形式，属于基础题
10、A
【解析】设幂函数为，代入点，得到，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】设幂函数为，代入点，即，
定义域为，为偶函数且
故选：
【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】原问题等价于时，恒成立和时，恒成立，从而即可求解.
【详解】解：由题意，因为，不等式恒成立，
所以时，恒成立，即，所以；
时，恒成立，即，
令，则，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
所以；
综上，.
所以的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案
【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，
又是上的奇函数，所以时，，
又由在上的最大值为，
所以，，使得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.
13、 ①. ②.
【解析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.
【详解】由题设，是的根，
∴，即，.
故答案为：，.
14、（答案不唯一）
【解析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是，其中.
【详解】因为的定义域为R，是增函数，且值域为，
所以的定义域为R，是减函数，且值域为，
则的定义域为R，是减函数，且值域为，
所以定义域为R，值域为的一个减函数是.
故答案为：（答案不唯一）.
15、
【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以当时，
故答案为：.
16、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换，将函数转化为，由求解；
（2）由得到，再由，利用二倍角公式求解.
【小问1详解】
解：，
，
，
由，得，
即，
又，故的解集为.
【小问2详解】
由，得，
因为为锐角，
所以，
则，
故，
，
.
18、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；
（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.
【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，
任取，则，
因为，所以，可得，即且，
所以，即，所以在上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数，
同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——下结论.
19、（1）﹣1；（2）0≤t ；（3）m≤﹣3或m≥3
【解析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.
（2）采用换元把方程化为t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为
t与2+2k在[1，2]上有交点即可求解.
（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把问题转化为1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究关于
的函数h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.
【详解】（1）函数f（x）＝x2﹣2x+1+a对称轴为x＝1，
所以区间[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，
由根据题意函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1
所以a＝﹣1
（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，
若关于x的方程f（log2x）+1﹣2k•log2x＝0在[2，4]上有解，
令t＝log2x，t∈[1，2]
则f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，
t2+2k在[1，2]上有解，
令函数g（t）＝t，
在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增
所以g（1）≤2+2k≤g（2），
即2≤2+2t，
解得0≤t
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，
若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，
都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，
则1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，
令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，
所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，
解得m≤﹣3或m≥3
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义可得，求出的值，再检验即可得出答案.
(2) 先求出函数的值域，即得出集合，然后由题意知，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.
【小问1详解】
由幂函数定义，知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，
因此.
【小问2详解】
当时，的值域为，则集合，
由题意知Ü，得，解得.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数恒等变换对函数进行化简，根据正弦型三角函数性质求解函数的最小值即可；
（2）利用正弦函数的单调性，整体代换求解函数的单调递增区间即可.
【小问1详解】
解析：（1），
∴当时取得最小值
【小问2详解】
（2）由（1）得，，
令，
得函数的单调递增区间为