湖南省名校联盟2025年数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

湖南省名校联盟2025年数学高一上期末质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数，则（）
A.是偶函数，且在单调递增 B.是偶函数，且在单调递减
C.是奇函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减
2．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
A. B.
C. D.
3．计算，其结果是
A. B.
C. D.
4．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（）

A. B.
C. D.
5．函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是
A. B.
C. D.
6．已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.[-1，2）
C.（0，2） D.
8．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为

A.7000 B.7500
C.8500 D.9500
9．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）
A. B.
C. D.
10．已知，则（）
A.－ B.
C.－ D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．命题“，使”是真命题，则的取值范围是________
12．已知，，则__________
13．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________
14．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
15．已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________
16．函数的值域是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
20．已知函数，.
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）

阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间

秒
秒

距离
米

米
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上减函数，
因此，函数为奇函数，且是上的减函数.
故选：D.
2、A
【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增
A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；
B.为偶函数，且当时单调递减，排除；
C.函数为奇函数，排除；
D.，函数为非奇非偶函数，排除；
故选：
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
3、B
【解析】原式
故选
4、C
【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可
【详解】∵
∴
∵
∴＝
∴＝，
∴
故选：C
5、D
【解析】因为函数，,所以,所以函数为偶函数，
则、均在在函数图像上．故选D
考点：函数的奇偶性
6、D
【解析】由题意，集合是由点作为元素构成的一个点集，根据，即可得到集合的元素.
【详解】由题意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D
【点睛】与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集
（2）看这些元素满足什么限制条件
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
7、B
【解析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.
【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，
所以，解得，
故选：B
【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.
8、C
【解析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.
【详解】参加工作就医费为，
设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，
因此选C.
【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
9、B
【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
10、D
【解析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式即可直接得出结果.
【详解】由题意得，
，
即，
所以.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，的取值范围是，
故答案为：.
12、
【解析】构造角，，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.
【详解】，，，，
，

故答案为：
【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.
13、 (－4，4]
【解析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.
【详解】令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，
所以a≤2且g（2）＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4
故答案为：.
【点睛】本题考查由对数型复合函数的单调性求参数范围，注意定义域即可，属基础题.
14、
【解析】分类讨论，根据单调性求值域后建立方程可求解.
【详解】若，在上单调递减，则，不符合题意；
若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.
故答案为：
15、
【解析】根据对称性得出，再由得出答案.
【详解】因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.
故答案为：
16、##
【解析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.
【详解】，而定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】（1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点斜式可得l的方程；（2）有点到直线的距离公式可得，解得a=1或a=6，即为所求
试题解析：
(1)由得
所以直线l1与l2的交点为(1,6),
又直线l垂直于直线x-2y-6=0
所以直线l的斜率为k=-2，
故直线l的方程为y-6=-2(x-1),
即2x+y-8=0
(2)因为点P(a,1)到直线l的距离等于,
所以=,
解得a=1或a=6.
所以实数a的值为1或6.
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连结，交点，连，推出//1，即可证明平面；
（2）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，证明
，得到 平面，然后证明平面 平面
试题解析：（1）连结，交点，连，则是的中点，
因为是的中点，故//.
因为平面，平面.
所以//平面.
（2）取的中点，连结，因为是的中点，
故//且 .
显然//，且 ，所以//且
则四边形是平行四边形.
所以//.
因为，所以
又，所以直线 平面.
因为//，所以直线 平面.
因为平面，所以平面 平面
19、（1）； （2）见解析.
【解析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；
（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
【详解】（1）由题意，当时，则，可得，
　因为函数为奇函数，所以，
　所以函数的解析式为.
（2）函数在单调递增函数.
证明：设，则
因为，所以
所以，即
故在为单调递增函数
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及熟练应用的函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）讨论和时实数的取值范围，再结合的范围与函数的对称轴讨论使得在上是减函数的范围即可；
（2）假设存在整数，使得的解集恰好是．则，由，解出整数，再代入不等式检验即可
小问1详解】
解：令，则.
当，即时，恒成立，
所以.
因为在上是减函数，
所以，解得，
所以.
由，解得或.
当时，的图象对称轴，且方程的两根均为正，
此时在为减函数，所以符合条件.
当时，的图象对称轴，且方程的根为一正一负，
要使在单调递减，则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
【小问2详解】
解：假设存在整数，使的解集恰好是，则
①若函数在上单调递增，则，且，
即
作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均不满足要求；
②若函数在上单调递减，则，且，
即
作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均不满足要求；
③若函数在上不单调，则，且，
即作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均满足要求；
综上，符合要求的整数是或
【点睛】关键点点睛：本题第一问解题的关键在于先根据判别式求出的取值范围，再结合范围和二次函数的性质讨论求解；第二问解题的关键在于分类讨论，将问题转化为函数在上单调递增、单调递减、不单调三种情况求解即可.
21、（1）；2.4秒；（2）72（千米/小时）
【解析】（1）由图，分别计算出报警时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离，，，，代入中即可，，利用基本不等式求最值；（2）将问题转化为对于任意，恒成立，利用分离参数求范围即可.
【详解】（1）由题意得，
所以
当时，，
（秒）
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒
（2）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得
所以，即，解得
所以，
（千米/小时）