湖北省武昌实验中学2025年数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

湖北省武昌实验中学2025年数学高一第一学期期末监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）的表达式是
A. B.
C. D.
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点P（-2，4），则下列不等关系正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3．计算，其结果是
A. B.
C. D.
4．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
5．下列四个式子中是恒等式的是（　 ）
A. B.
C. D.
6．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（　　）
A. B.
C. D.
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C.2 D.1
8．已知集合，集合，则（）
A.0 B.
C. D.
9．已知x，y满足，求的最小值为（）
A.2 B.
C.8 D.
10．已知函数为奇函数，，若对任意、，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数=(其中且)的图象恒过定点,且点在幂函数的图象上,则= ______.
12．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________
13．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________
14．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点
15．一个扇形周长为8，则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是__________.
16．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设在区间单调，且都有

（1）求的解析式；
（2）用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.
18．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.
（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.
19．已知
（1）化简；
（2）若，求的值
20．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0．001，计算这次地震的震级（精确到0．1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
（以下数据供参考：， ）
21．有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题意得，当时，则，当时，，所以
，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选A
考点：函数的奇偶性的应用；函数的表达式
2、A
【解析】根据幂函数的图像经过点，可得函数解析式，然后利用函数单调性即可比较得出大小关系
【详解】因为幂函数的图像经过点，
所以，解得，
所以函数解析式为：，
易得为偶函数且在单调递减，在单调递增
A：，正确； B：，错误；
C：，错误；D：，错误
故选A
【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式，函数奇偶性和单调性的关系：奇函数在对应区间的函数单调性相同；偶函数在对应区间的函数单调性相反
3、B
【解析】原式
故选
4、C
【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可.
【详解】由函数的解析式可知函数为定义在R上的增函数，且函数为奇函数，
故不等式即，
据此有，即恒成立；
当时满足题意，否则应有：，解得：，
综上可得，实数的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.
5、D
【解析】，故错误
，故错误
，故错误
故选
6、B
【解析】先用换元法求出，然后由函数值求自变量即可.
【详解】令，则，可得，即，由题知，解得.
故选：B
7、A
【解析】
由已知条件得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】已知，且，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查的妙用，考查计算能力，属于基础题.
8、B
【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】由题意，集合，，∴.
故选：B
9、C
【解析】利用两点间的距离公式结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：表示点与直线上的点的距离的平方
所以的最小值为点到直线的距离的平方
所以最小值为：
故选：C.
10、A
【解析】由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案.
【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以，
要使对任意、，恒成立，
只需，又，∴，即，
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】由题意知,当时,.即函数=的图象恒过定点.而在幂函数的图象上,所以,解得,即,所以=9.
12、3
【解析】由
将对数转化为指数

13、
【解析】设正方体的棱长为x，则 =36π，
解得x=
故答案为
14、3
【解析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.
【详解】因为，
所以函数在R上单调递减，
又，，，
，且当时，，
当时，令，
则，
综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点
故答案为：3.
15、2
【解析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数
【详解】设扇形的半径为，则弧长为，，
所以当时取得最大值为4，此时，圆心角为（弧度）
故答案为：2
16、
【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.
【详解】，，
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）图象见解析，所有零点之和为
【解析】（1）依题意在时取最大值，在时取最小值，再根据函数在单调，即可得到，即可求出，再根据函数在取得最大值求出，即可求出函数解析式；
（2）列出表格画出函数图象，再根据函数的对称性求出零点和；
【小问1详解】
解：依题意在时取最大值，在时取最小值，又函数在区间单调，所以，即，又，所以，
由得，即，
又因为，所以，，
所以.
【小问2详解】
解：列表如下

0

0

0
1

所以函数图象如下所示：

由图知的一条对称轴为有两个实数根，记为，
则由对称性知，所以所有实根之和为.
18、（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.
【解析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围
（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得
【详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，
代入得，解得
所以
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以
综上，
答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，
所以，等号当且仅当成立；
当时，

即，等号当且仅当，即成立.
综上，的最大值约为3250，此时约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解
19、（1）
（2）.
【解析】（1）根据诱导公式及同角关系式化简即得；
（2）根据可知，从而求得结果.
【小问1详解】
由诱导公式可得：
；
【小问2详解】
由于，有，得，
，可得
故值为.
20、（1）4．5（2）1000
【解析】（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式M=lgA-lg求解；（2）利用对数式和指数式的互化由M=lgA-lg得A＝，把M=8和M=5分别代入公式作比后即可得到答案
试题解析：（1）
因此，这次地震的震级为里氏4．5级.
（2）由可得,即，
当时,地震的最大振幅为;当时,地震的最大振幅为;所以，两次地震的最大振幅之比是：
答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
考点：函数模型的选择与应用
21、.
【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出
【详解】∵0＜a＜2，
可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）
l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）
两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即yE＝2
∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB
|BC|•yE|OA|•|OB|
（a21）×2（2﹣a）×（2）
＝a2﹣a+3
＝（a）2，当a时取等号
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为

【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题