广州天河区一一三中2025年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

广州天河区一一三中2025年数学高一上期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数表示为

设，的值域为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3．已知，则下列结论中正确的是（）
A.的最大值为 B.在区间上单调递增
C.的图象关于点对称 D.的最小正周期为
4．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A. B.
C. D.
5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）
A. B.1
C. D.2
6．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（）
A.36 B.42
C.49 D.56
7．已知，则的大小关系为
A. B.
C. D.
8．函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
9．下列各角中，与角1560°终边相同的角是（）
A.180° B.-240°
C.-120° D.60°
10．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______
12．在中，，，则面积的最大值为___________.
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是_______
14．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
15．如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于______

16．已知长方体的8个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，将图象向右平移个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式，并求在上的单调递增区间；
（2）若函数，求的周期和最大值.
18．已知.
（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；
（2）若函数在区间(0,1)上有两个不同的零点，求的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是中点

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值
20．已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：
（1）与的夹角;
（2）.
21．设函数.
（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；
（2）若在区间上有零点，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案
【详解】，，
，
又在上单调递增，
，
，
故选：C
2、A
【解析】根据所给函数可得答案.
【详解】根据题意得，的值域为.
故选：A .
3、B
【解析】利用辅助角公式可得，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于A，，A错误；
对于B，当时，，
由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确；
对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误；
对于D，最小正周期，D错误.
故选：B.
4、B
【解析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，利用两条直线垂直可得：，解得.联立方程解出即可得出.
【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.
时，由两条直线垂直可得：，解得.
综上可得：.
联立，解得，.∴这两条直线的交点坐标为.
故选：
【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意，在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
6、C
【解析】由题意，根据扇形面积公式及二次函数的知识即可求解.
【详解】解：设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得，
则扇形的面积，
所以该扇形面积的最大值为49，
故选：C.
7、D
【解析】,且,, ,故选D.
8、B
【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.
9、B
【解析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.
【详解】与1560°终边相同的角为，，
当时，.
故选：B.
10、C
【解析】如图，取中点，

则平面，
故，因此与平面所成角即为，
设，则，，
即，
故，故选:C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】按的取值范围分类讨论.
【详解】当时，定义域，，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
当时，定义域，，
，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
综上：
故答案为：
【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.
12、
【解析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值
【详解】中，，
所以，整理得，
即，所以均为锐角，
作于，如图，记，则，，
所以，，当且仅当即时等号成立．所以，
的最大值为
故答案为：

13、
【解析】 设圆锥的母线为，底面半径为则因此圆锥的高是
考点：圆锥的侧面展开图
14、 ①. ②.
【解析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.
【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
即有当时，，而当时，，当时，，则，
所以函数的最大值为，最小值为.
故答案为：；
15、
【解析】由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得 由 知就是异面直线与的夹角,且 所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
16、
【解析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】由题知，球O的半径为，
则球O的表面积为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），增区间是
（2）周期为，最大值为.
【解析】（1）由图象平移写出的解析式，根据余弦函数的性质直接确定单调增区间.
（2）应用二倍角正弦公式可得，结合正弦型函数的性质求周期和最大值.
【小问1详解】
由题设，，而在上递减，上递增，
所以的单调增区间是.
【小问2详解】
由（1）有，
所以，最小正周期为，最大值为，此时.
综上，周期为，最大值为.
18、 (1)答案见解析；(2)
【解析】(1)函数为奇函数，则，据此可得，且函数在上单调递增；
(2)原问题等价于在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令，结合二次函数的性质可得的取值范围是.
试题解析：
（1）因为是奇函数，
所以，
所以；
在上是单调递增函数;
(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，
等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
即方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
所以方程在区间上有两个不同的根，
画出函数在(1,2)上的图象,如下图,

由图知,当直线y=a与函数的图象有2个交点时,
所以的取值范围为.
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用
19、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.
试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故.由条件，，∴平面.
又平面，∴.
由，，可得.
∵是的中点，∴.
又，综上得平面.
（2）过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，在平面内的射影是，则
因此是二面角的平面角
由已知，可得．设，可得，，
，
在中，∵，∴，则 ，
在中，.
20、（1）；（2）
【解析】（1）由题知，进而得出，即可求得.
（2）根据数量积的定义即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意，，所以.
又因为，所以.
（2）.
【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.
21、（1）；（2）
【解析】⑴根据函数图象可得在区间上的最大值必是和其中较大者， 求解即可得到的取值范围；
⑵设方程的两根是，，由根与系数之间的关系转化为，对其化简原式大于或者等于，构造新函数，利用函数的最值来求解
解析：（1）因为图象是开口向上的抛物线，所以在区间上的最大值必是和中较大者，而，所以只要，即，得.
（2）设方程的两根是，，且，
则，
所以

，当且仅当时取等号.
设，
则，
由，得，因此，
所以，
此时，由知.
所以当且时，取得最小值.
点睛：本题考查了函数零点的判定定理，二次函数的性质以及解不等式，在求参量的最值时，利用根与系数之间的关系，转化为根的方程，运用函数的思想当取得对称轴时有最值，本题需要进行化归转化，难度较大