2026届东莞市数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2026届东莞市数学高一上期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（）
A.对任意，都有成立；
B.函数的图像关于原点成中心对称；
C.存在某个，使得；
D.对任意给定的，都有.
2．若直线与互相平行，则（）
A.4 B.
C. D.
3．为了得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
4．已知函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．若命题:，则命题的否定为（）
A. B.
C. D.
6．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
7．函数是（）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
8．已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9．若，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．过正方体的顶点作直线，使与棱、、所成的角都相等，这样的直线可以作_________条.
12．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____
13．已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________
14．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.
15．已知函数,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数； 
②是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为；
④该函数的图像关于点对称；
⑤该函数值域为.
其中正确命题的编号为 ______
16．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
18．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；
怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？

19．某口罩生产厂家目前月生产口罩总数为100万，因新冠疫情的需求，拟按照每月增长率为扩大生产规模，试解答下面的问题：
（1）写出第月该厂家生产的口罩数（万只）与月数(个）的函数关系式；
（2）计算第10个月该厂家月生产的口罩数（精确到0.1万）；
（3）计算第几月该厂家月生产的口罩数超过120万只（精确到1月）
【参考数据】：
20．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
21．求经过点和,圆心在轴上的圆的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用偶函数的定义进行判断即可
【详解】对于A，对任意，都有成立，可得为偶函数且为奇函数，而当为偶函数时，不一定有对任意，，所以A错误，
对于B，当函数的图像关于原点成中心对称，可知，函数为奇函数，所以B错误，
对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意，都有，即，所以当为偶函数时，任意，，反之，当任意，，则为偶函数，所以C错误，D正确，
故选：D
2、B
【解析】根据直线平行，即可求解.
【详解】因为直线与互相平行，所以，得
当时，两直线重合，不符合题意；当时，符合题意
故选：B.
3、B
【解析】利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论
【详解】解：为了得到函数的图象，
只需将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故选：B
4、D
【解析】通过解不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，
即：或，
即：或，
解得或.
所以的取值范围是.
故选：D
5、D
【解析】根据存在量词的否定是全称量词可得结果.
【详解】根据存在量词的否定是全称量词可得命题的否定为.
故选：D
6、D
【解析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键
7、A
【解析】由题可得，根据正弦函数的性质即得.
【详解】∵函数，
∴函数为最小正周期为的奇函数.
故选：A.
8、C
【解析】根据题意写出函数表达式为：，在上仅有一个零点分两种情况，情况一：在第一段上有零点， ，此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点，
以上两种情况并到一起得到：．
故答案为C．
点睛：在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
9、B
【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
10、C
【解析】求出圆内接正方形边长（用半径表示），然后由弧度制下角的定义可得
【详解】设此圆的半径为，则正方形的边长为，
设这段弧所对的圆周角的弧度数为，则，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查弧度制下角的定义，即圆心角等于所对弧长除以半径．本题属于简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数
【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1
第一条：AC1是满足条件的直线；
第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；
第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；
第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线

故答案为4
【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题
12、
【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离,从而得解.
【详解】∵圆标准方程为，
∴圆心坐标（，），半径r，
若点（1，﹣1）在圆外，
则满足k，且k＞0，
即﹣2＜k，
即实数k的取值范围是（﹣2，）.
故答案为: （﹣2，）
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.
13、
【解析】根据对称性得出，再由得出答案.
【详解】因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.
故答案为：
14、##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
15、②③
【解析】由于为非奇非偶函数, ①错误.,此时,其在上为增函数, ②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.
16、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析（2）答案见解析
【解析】（1）根据函数解析式，分别作出各段图象即可；（2）由解析式可直接得出函数的定义域，由图观察，即可得到单调区间以及值域
【详解】图象如图所示

（2）定义域为或或，
增区间为，减区间为，，，，
值域为
18、（1）（2）使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值
试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为（单位），由于可供建造围墙的材料总长是，则每间熊猫居室的长为（单位m）
所以每间熊猫居室的面积
又得

（2）
二次函数图象开口向下，对称轴且，
当时，，
所以使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题
19、（1）；（2）112.7万只；（3）16个月.
【解析】（1）每月增长率为指数式,依据实际条件列出解析式即可；（2）第10个月为时，带入计算可得结果；（3）根据参考数据带入数值计算.
【详解】解: （1）因为每月增长率为,所以第月该厂家生产的口罩数,.
（2）第10个月该厂家月生产的口罩数万只.
（3）是增函数,
当时, ,
当时, ,
所以当时,即第16个月该厂家月生产的口罩数超过120万只.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面内作出辅助线，然后根据线面平行判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥的高，将看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，

所以，
因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过作于，
因为是直三棱柱，点为的中点，
所以，且底面，
所以,
因为，所以，
则 ,
所以

21、.
【解析】根据条件得到，设圆心为，根据点点距列出式子即可，求得参数值
解析：
圆的圆心在轴上，设圆心为,
由圆过点和,
由可得，即，求得，
可得圆心为，
半径为，
故圆的方程为.
点睛：这个题目考查了圆的方程的求法，利用圆的定义得到圆上的点到圆心的距离相等，可列出式子．一般和圆有关的多数是利用圆的几何性质，垂径定理列出方程，利用切线的性质即切点和圆心的连线和切线垂直列式子．注意观察式子的特点