2025年全国百强名校领军考试数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年全国百强名校领军考试数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

A.17π B.18π
C.20π D.28π
2．已知集合，则=
A. B.
C. D.
3．已知实数x，y满足，那么的最大值为（）
A. B.
C.1 D.2
4．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A. B.
C. D.
5．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
6．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
7．定义域为的函数满足，当时， ，若时，对任意的都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．下列各式中与相等的是
A. B.
C. D.
9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为.科学研究发现与成正比.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为.当时，其耗氧量的单位数为（）
A. B.
C. D.
10．已知，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设平面向量，，则__________.若与的夹角为钝角，则的取值范围是__________
12．_____
13．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________
15．给出如下五个结论：
①存在使 ② 函数是偶函数
③最小正周期为 ④若是第一象限的角，且，则
⑤函数的图象关于点对称
其中正确结论序号为______________
16．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的最小正周期为
（1）求当为偶函数时的值；
（2）若的图象过点，求的单调递增区间
18．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值及相应的的值.
19．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数
20．在平面直角坐标系中，已知点，，在圆上
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于，两点.
①若弦长，求直线的方程；
②分别过点，作圆的切线，交于点，判断点在何种图形上运动，并说明理由.
21．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若总存在，使得不等式成立，求实数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
2、B
【解析】由题意，所以．故选B
考点：集合的运算
3、C
【解析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.
故选：C.
4、C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算
5、D
【解析】圆心为,点到直线的距离为.故选D.
6、D
【解析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可
【详解】
由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，
作出函数f（x）和，x＞0的图象，
由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点
所以函数f（x）的““黄金点对“有3对
故选D
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键
7、B
【解析】由可求解出和时，的解析式，从而得到在上的最小值，从而将不等式转化为对恒成立，利用分离变量法可将问题转化为，利用二次函数单调性求得在上的最大值，从而得到，进而求得结果.
【详解】当时，

时，
当时，，
时，
时，，即对恒成立
即：对恒成立
令，，
，解得：
故选：B
8、A
【解析】利用二倍角公式及平方关系可得，结合三角函数的符号即可得到结果.
【详解】,
又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，
∴=
故选A
【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力.
9、D
【解析】设，利用当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为求出后可计算时鲑鱼耗氧量的单位数.
【详解】设，因为时，，故，
所以，故时，即.
故选：D.
【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.
10、B
【解析】先求出，再对四个选项一一验证即可.
【详解】因为，又，
解得：.
故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】（1）由题意得
（2）∵与的夹角为钝角，
∴，解得
又当时，向量，共线反向，满足，但此时向量的夹角不是钝角，故不合题意
综上的取值范围是
答案：；
12、
【解析】利用根式性质与对数运算进行化简.
【详解】，
故答案为：6
13、
【解析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案
【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，且
因为f(x＋2)为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
所以，即，
所以，即，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则
，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以当时，，
所以，
故答案为：
14、
【解析】|a－b|＝
15、②③
【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.
【详解】对于①，，，故错误；
对于②，，显然为偶函数，故正确；
对于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期为π，
∴y＝|sin（2x）|最小正周期为．故正确；
对于④，令 α，β，满足，但，故错误；
对于⑤，令则故对称中心为，故错误.
故答案为：②③
【点睛】本题主要考查三角函数图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题
16、
【解析】根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为：，
因为函数在内恰有一个零点，所以有：
，或，即或，
解得：，或，
综上所述：实数a的取值范围为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由为偶函数，求出的值，结合的范围，即可求解；
（2）由函数的周期求出值，将点代入解析式，结合的范围，求出，根据正弦函数的单调递增区间，整体代换，即可求出结论.
【详解】（1）当为偶函数时，，
；
（2）函数的最小正周期为，
，当时，，
将点代入得，，
，
单调递增需满足，
，
，
所以单调递增是；
当时，，
将点代入得，，
的值不存在，
综上，的单调递增区间.
【点睛】本题考查函数的性质，利用三角函数值求角，要注意角的范围，考查计算求解能力，不要忽略的正负分类讨论，是本题的易错点，属于中档题.
18、（1）；；
（2）；.
【解析】（1）利用余弦函数的周期公式计算可得最小正周期，借助余弦函数单调增区间列出不等式求解作答.
（2）求出函数的相位范围，再利用余弦函数性质求出最小值作答.
【小问1详解】
函数中，由得的最小正周期，
由，解得，
即函数在上单调递增，
所以的最小正周期是，单调递增区间是.
【小问2详解】
当时，，则当，即时，，
所以函数的最小值为，此时.
19、（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，
（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论
【详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数，
证明：，其定义域为，
有，则是偶函数；
（2）证明：设，
则，
又由，则，
必有，
故在上是减函数
20、（1）（2）
【解析】（1）设圆的方程为：，将点，，分别代入圆方程列方程组可解得，，，从而可得圆的方程；（2）①由（1）得圆的标准方程为，讨论两种情况，当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，由弦长，根据点到直线距离公式列方程求得，从而可得直线的方程；②，利用两圆公共弦方程求出切点弦方程，将代入切点弦方程，即可得结果.
试题解析：（1）设圆方程为：，由题意可得
解得，，，故圆方程为
（2）由（1）得圆的标准方程为
①当直线的斜率不存在时，的方程是，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，
由，可得圆心到的距离，
故，解得，故的方程是，
所以，方程是或
②设，则切线长，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
化简得圆的方程为：，①
又因为的方程为，②
②①化简得直线的方程为，
将代入得：，
故点在直线上运动
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据相邻两个交点之间的距离为可求出，由图像上一个最高点为可求出，，从而得到函数的解析式；
（2）根据三角变换法则可得，再求出在上的最小值，利用对数函数的单调性即可求出实数的最小值
【详解】（1）∵，∴，解得.
又函数图象上一个最高点为，
∴，（），∴（），又，
∴，∴
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到；然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
∵，∴，，依题意知，，
∴，即实数的最小值为.