2025年湖北省黄岗市浠水实验高中数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年湖北省黄岗市浠水实验高中数学高二上期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点到准线的距离（ ）
A.4 B.
C.2 D.
2．已知是虚数单位，若复数满足，则（）
A. B.2
C. D.4
3．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）
A. B.
C. D.
4．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A.1 B.
C. D.
5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
6．的展开式中，常数项为（）
A. B.
C. D.
7．设，则有（）
A. B.
C. D.
8．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．已知等比数列满足，，则（ ）
A.21 B.42
C.63 D.84
10．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（ ）
A.2019 B.2020
C.2021 D.2022
11．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
14．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.
15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______
16．已知满足的双曲线（a，b＞0，c为半焦距）为黄金双曲线，则黄金双曲线的离心率为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？
（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少
18．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.

（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求四棱锥的体积.
19．（12分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值
20．（12分）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.

（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
21．（12分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.
22．（10分）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与轴交点分别为，求的值；
（3）若，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离.
【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则，
∴焦点到准线的距离为4.
故选：A.
2、C
【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
3、B
【解析】利用椭圆的定义可得结果.
【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.
故选：B.
4、C
【解析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.
【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，
因为，，，
由抛物线的定义可知：，，，所以，
直线斜率为：.
故选：C.

5、A
【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，

由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
设点，由，得，
因为四边形的面积为，
所以，得，
由，得，解得，
所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，
由，得，
解得，由，得.
故选：A
6、A
【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：A.
7、A
【解析】利用作差法计算与比较大小即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
故选：A.
8、A
【解析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.
【详解】解：将直线代入椭圆方程得，
，即，
设，，，，则，
即中点的横坐标是，纵坐标是，
由于线段的中点在直线上，则，又，
则，，即椭圆的离心率为.
故选：A
9、D
【解析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.
【详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，
所以.
故选：D
10、C
【解析】先令代入 中，求得 ，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定 ，求得答案.
【详解】因为，令 ，则 ，
又，故，
即 ，
故数列是等比数列，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
11、C
【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.
【详解】设，，,
依题意得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，
当位于圆的最高点时的面积最大，所以 ,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小，所以,
解得,
故双曲线的离心率为.
故选: C.
12、A
【解析】根据双曲线渐近线方程得a和b的关系，根据焦点在抛物线准线上得c的值，结合a、b、c关系即可求解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线方程是，
∴，
∵准线方程是，∴，
∵，∴，，
∴双曲线标准方程为：.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
14、0
【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
所以.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.
15、
【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.
【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则递减；当时，则递增.
∴，故.
故答案为：.
16、##
【解析】根据题设及双曲线离心率公式可得，结合双曲线离心率的性质即可求离心率.
【详解】由题设，，整理得：，
所以，而，故.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55
（2）2.375小时，2.4小时
（3）
【解析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；
（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；
（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.
【小问1详解】
设初中、高中年级所抽取人数分别为x、y ，
由已知可得，解得；
【小问2详解】
的频率为，的频率为，的频率为
因为，，所以中位数在区间上，设为x，
则，解得，
所以学生做作业时间的中位数为 2.375小时；
平均时长为小时.
故估计学生做作业时间的中位数为 2.375小时，平均时长为2.4小时
【小问3详解】
2 人来自初中年级，记为，，3 人来自高中年级，记为，，，
则从中任选 2人，所有可能结果有：
，，，，，，，，，共 10 种，
其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，
所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为
18、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.
证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，

因为，分别为，的中点，
所以且
因为且，
所以， 且，
所以四边形为平行四边形，可得，
因为面，面，所以平面；
（2）过点作于点，
因为平面，面，所以平面面，
因为，面，平面面，
所以面，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以，即为四棱锥的高，
所以.
19、（1）
（2）128
【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.
（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.
【小问1详解】
设抛物线上任一点为，则，
所以当时，，
又∵，∴，即
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，
由题意可知，的斜率k存在且不为0
设的方程为由，得
，
同理可得，

，
当且仅当时，即时，等号成立
∴四边形AMBN面积的最小值为128
20、（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.
【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.
【详解】（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，所以.
所以

即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，

，
即定值.
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面积用表示，求出，进而求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义，，再根据勾股定理和直角三角形的面积公式，即可解得，又由离心率求出，则可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理表示出，再将直线的方程代入椭圆方程，求出，则为定值.
【小问1详解】
方法一：由离心率，得：，
所以
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得
所以，
解得：，
所以椭圆的标准方程为：.
方法二：由椭圆定义；，
因为，所以，

得到：，即，
又，得
所以椭圆C的标准方程为：；
【小问2详解】
设直线AB的方程为：
.
得

设过点且平行于的直线方程：

.
22、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，可求得点和的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；
（3）利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得和，再解方程即可.
【小问1详解】
抛物线的准线方程为：，
因为点到抛物线焦点的距离为，
所以有；
小问2详解】
由题意知，，，设，则，，，，
所以直线的方程为，
联立，消去得，，解得，
设，，，，
不妨取，，
直线的斜率为，其方程为，
令，则，
同理可得，
所以，
而，
所以；
【小问3详解】
，其中，
，
，
因为，
所以，
化简得，
解得（舍负），即，
所以
【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.