全国大联考2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

全国大联考2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
2．在中，“”是“”的（）
A.充要条件 B.充分非必要条件
C必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
3．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
4．若，求（）
A. B.
C. D.
5．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是
A. B.
C. D.
7．在四棱锥中，平面，中，，，则三棱锥的外接球的表面积为

A. B.
C. D.
8．如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（）

A. B.平面
C.三棱锥的体积为定值 D.存在点，使得平面平面
9．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
A. B.
C. D.
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.51
4.04
7.51
12.03
18.01
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的部分图像如图所示，轴，则_________，_________

12．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___
13．已知函数的最大值与最小值之差为，则______
14．____.
15．若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________
16．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值.
18．设，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
19．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20．函数，在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数的单调递增区间
21．如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
2、A
【解析】结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】在中，，
所以，
所以在中，“”是“”的充要条件.
故选：A
3、C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误
4、A
【解析】根据，求得，再利用指数幂及对数的运算即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以.
故选：A.
5、C
【解析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围
【详解】由题 ，函数f（x）＝ax+1单调，又在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即 （1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1
故选C
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题
6、B
【解析】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项C：，对于选项A：，故A、C均被排除，应选B.
7、B
【解析】由题意，求长，即可求外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.
【详解】由题意中，，，
则是等腰直角三角形，平面可得，，
平面，，则的中点为球心
设外接圆半径为，则，
设球心到平面的距离为，则
，由勾股定理得，
则三棱锥的外接球的表面积
故选：
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
8、D
【解析】对A,根据中位线的性质判定即可.
对B,利用平面几何方法证明，再证明平面即可.
对C,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.
对D,根据与平面有交点判定即可.
【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;
在B中,因为,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正确；
在C中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确.
在D中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故D错误.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：
线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；
面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；
线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；
面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面
9、A
【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增
A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；
B.为偶函数，且当时单调递减，排除；
C.函数为奇函数，排除；
D.，函数为非奇非偶函数，排除；
故选：
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
10、B
【解析】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，逐一判断，选择与实际数据接近的函数得选项.
【详解】解：由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，
对于A，函数是线性增加的函数，与表中的数据增加趋势不符合，故A不正确；
对于C，函数，当，与表中数据7.5的误差很大，不符合要求，故C不正确；
对于D，函数，当，与表中数据4.04的误差很大，不符合要求，故D不正确；
对于B，当，与表中数据1.51接近，
当，与表中数据4.04接近，
当，与表中数据7.51接近，
所以，B选项的函数是最接近实际的一个函数，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.2 ②.##
【解析】根据最低点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出的值，再把最低点的坐标代入函数解析式中，最后求出的值.
【详解】通过函数的图象可知，
点B、C的中点为，与它隔一个零点是，
设函数的最小正周期为，则，
而，把代入函数解析式中，
得.
故答案为：；
12、
【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.
【详解】圆的标准方程为，则，
若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.
13、或.
【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；
当时，显然不成立；
当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，
综上可得，或.
故答案为：或.
14、.
【解析】本题直接运算即可得到答案.
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查指数幂的运算、对数的运算，是基础题.
15、或.
【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.
详解：由直线垂直的充分必要条件可得：
，即：，
解得：，，
当时点到轴的距离为0，
当时点到轴的距离为5，
综上可得：点到轴的距离为或.
点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16、
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，
设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）减区间为，增区间为；；（2）.
【解析】（1）设，，，则，，根据函数的性质，可得单调性，根据单调性可得值域；
（2）根据单调性求出函数在上的值域，再根据的值域是的值域的子集列式可解得结果.
【详解】（1），
设，，，则，，
由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；
当，即时，单调递增，所以增区间为；
由，，，得的值域为；
（2）因为为减函数，故函数在上的值域为.
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以.
【点睛】本题考查了对勾函数的单调性，考查了利用函数的单调性求值域，考查了转化化归思想，属于中档题.
18、 (1)-2；(2).
【解析】（1），，所以 ；
（2）因为，所以代值即可得与夹角的余弦值.
试题解析：
（1）
（2）因为，，
所以.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
（i）当，即时，，符合题意；
（ii）当时，，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的最值求得振幅A，利用周期公式求得，根据五点法求，进而求得解析式；
（2）依据正弦函数单调区间，列出不等式，解之即可得到函数的单调递增区间
【详解】（1）在内函数只取到一个最大值和一个最小值，
当时，；当时，，则，
函数的最小正周期，则
由，可得，则此函数的解析式；
（2）由，可得，
则函数的单调递增区间为
21、（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；
（2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证.
【小问1详解】
由正方体的性质，可得，平面，
∴，又，
∴平面；
【小问2详解】
设，连接，

则
∴，
∴四边形BFEG为平行四边形，
∴EF∥GB，又平面，平面，
∴平面