湖南省2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

湖南省2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的终边经过点，则的值为
A. B.
C. D.
2．如图所示，在中，．若，，则（）

A. B.
C. D.
3．在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A. B.
C. D.
4．已知a>0，则当取得最小值时，a值为（）
A. B.
C. D.3
5．命题“，使.”的否定形式是（）
A.“，使” B.“，使”
C.“，使” D.“，使”
6．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）
A. B.
C. D.
7．函数的定义域为（）
A.R B.
C. D.
8．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A. B.
C. D.
9．已知，则的值为
A. B.
C. D.
10．函数在的图象大致为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____.
12．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______
13．函数的单调递增区间为________________.
14．已知集合A={2，log2m}，B={m，n}(m，n∈R)，且，则A∪B=___________.
15．设向量，若⊥，则实数的值为______
16．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.

（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
18．已知二次函数，关于x的不等式<0的解集为
（1）求实数m、n的值；
（2）当时，解关于x的不等式；
（3）当是否存在实数a，使得对任意时，关于x的函数有最小值-5.若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由
19．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程
20．已知函数.
（1）求在闭区间的最大值和最小值；
（2）设函数对任意，有，且当时，.求在区间上的解析式.
21．已知四棱锥的底面是菱形，,又平面，点是棱的中点，在棱上.
（1）证明：平面平面.
（2）试探究在棱何处时使得平面.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；
则；故选C.
2、C
【解析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.
【详解】因为．且，，
所以，

，
，
.
故选：C
3、C
【解析】设
,故选C.

考点：解三角形.

4、C
【解析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5、D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使
故选：D
6、D
【解析】A，B，C选项都有，所以四点共面，D选项四点不共面.
故选：D.
7、B
【解析】要使函数有意义，则需要满足即可.
【详解】要使函数有意义，则需要满足
所以的定义域为，
故选：B
8、A
【解析】,所以，故选A.
考点：集合运算.
9、C
【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值
【详解】因为tanα＝3，
所以

故选C
【点睛】本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形
10、C
【解析】当时, ,去掉D; 当时, ,去掉B;因为 ，所以去A，选C.
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接令，即可求出
【详解】解：对直线令，得
可得直线在轴上截距是，
故答案：
【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
12、
【解析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；
【详解】解：，的函数图象关于直线对称，
函数关于y轴对称，
当时，，
那么时，，
可得，
由，
得

解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.
13、
【解析】函数由，复合而成，求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可得结果.
【详解】函数由，复合而成，单调递减
令，解得或，即函数的定义域为，
由二次函数的性质知在是减函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间，
故答案为.
【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！
14、
【解析】根据条件得到，解出，进而得到.
【详解】因为，所以且，所以，解得：，则，，所以.
故答案为：
15、
【解析】∵，
∴，，
又⊥
∴
∴
故答案为
16、
【解析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：因为函数有8个零点，
所以直线与函数图像交点有8个，如图所示：

设，
因为函数是定义在的偶函数，
所以函数的图像关于轴对称，
所以，且由二次函数对称性有，
由有，
所以
又，所以，
所以，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】(1)由,可推出平面,从而可证明平面平面;
(2)由平面可推出是中点,因此.
【详解】(1)平面,平面,
,
∵四边形是正方形,
,
,
平面,
平面,
∴平面平面;
(2)平面,平面平面,
,
是中点,
是中点,
.
【点睛】本题考查面面垂直,考查空间几何体体积的求法,属于中档题.在解决此类几何体体积问题时,可利用中点进行转化.
18、（1）；
（2）答案见解析；（3）存在，.
【解析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.
（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.
【小问1详解】
依题意，不等式的解集是，因此，是关于x的一元二次方程的二根，且，
于得，解得，
所以实数m、n的值是：.
【小问2详解】
当时，由（1）知：，
当时，，解得：或，
当时，解得，
当时，不等式化：，解得：，
所以，当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是.
【小问3详解】
假设存在实数满足条件，由（1）知，，，
因，则设，函数化为：，显然，
于是得在上单调递减，当时，，
由解得：或（舍去），又，
所以存在实数满足条件，.
【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式，首先注意二次项系数是否含有参数，如果有，必须按二次项系为正、零、负三类讨论求解.
19、 (1) ； (2)
【解析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得
∴所求直线方程为.
【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1
20、（1）最大值为，最小值为；（2）.
【解析】
（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用时，，对分类求出函数的解析式即可.
【详解】（1）

，
因为，所以，
则，
，
所以的最大值为；的最小值为；
（2）当时，
，
当时，，
，
当时，；
，
综上：在区间上的解析式为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）当时，平面
【解析】
（1）证明：,
又底面是的菱形，且点是棱的中点，所以，
又,所以平面.
平面平面.
（2）解：当时，平面，证明如下：
连接交于，连接.
因为底面是菱形，且点是棱的中点，所以∽且,
又，所以，
平面.