黑龙江省哈尔滨市实验中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨市实验中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，那么（ ）
A. B.
C. D.
2．半径为1cm，圆心角为的扇形的弧长为（）
A. B.
C. D.
3．设函数y＝，当x＞0时，则y（）
A.有最大值4 B.有最小值4
C有最小值8 D.有最大值8
4．已知全集，集合，集合，则集合为
A. B.
C. D.
5．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．设，且，则的最小值是（）
A. B.8
C. D.16
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是
A. B.
C. D.
9．已知是偶函数，它在上是减函数.若，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．命题“，有”的否定是（）
A.，使 B.，有
C.，使 D.，使
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________
12．已知，则________.
13．化简： =____________
14．已知点，，在函数的图象上，如图，若，则______.

15．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
16．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简或求下列各式的值
（1）；
（2）（lg5）2+lg5•lg20+
18．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.
（1）若，求面积的最大值；
（2）已知，是否存在点C，使得，若存在，求点C的个数;若不存在，说明理由.
19．设向量
（Ⅰ）若与垂直，求的值；
（Ⅱ）求的最小值.
20．设全集U是实数集，集合，集合.
（1）求集合A，集合B；
（2）求.
21．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；
(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】解方程确定集合，然后由交集定义计算
【详解】，∴
故选：B
2、D
【解析】利用扇形弧长公式直接计算即可.
【详解】圆心角化为弧度为，
则弧长为.
故选：D.
3、B
【解析】由均值不等式可得答案.
【详解】由,当且仅当，即时等号成立.
当时，函数的函数值趋于
所以函数无最大值，有最小值4
故选：B
4、C
【解析】 ,选C
5、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
6、D
【解析】若,则需使得平面内有直线平行于直线；若,则需使得,由此为依据进行判断即可
【详解】当时,可确定平面,
当时,因为,所以,所以；
当平面交平面于直线时,
因为,所以,则,
因为,所以,
因为,所以,故A错误,D正确；
当时,需使得,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；
故选:D
【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力
7、B
【解析】转化原式为，结合均值不等式即得解
【详解】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立
故选：B
8、D
【解析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.
【详解】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，故选D .
【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为
9、C
【解析】根据偶函数的性质结合单调性可得，即可根据对数函数单调性解出不等式.
【详解】由于函数是偶函数，由得，
又因为函数在上是减函数，所以在上是增函数，
则，即，解得.
故选：C.
10、D
【解析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 (－4，4]
【解析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.
【详解】令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，
所以a≤2且g（2）＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4
故答案为：.
【点睛】本题考查由对数型复合函数的单调性求参数范围，注意定义域即可，属基础题.
12、
【解析】
将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】三角公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
13、
【解析】利用三角函数的平方关系式，化简求解即可
【详解】===
又，所以，所以=，
故填：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力
14、
【解析】设的中点为，连接，由条件判断是等边三角形，并且求出和的长度，即根据周期求.
【详解】设的中点为，连接，

，
，且，
是等边三角形，并且的高是,
，即，
，即，
解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查根据三角函数的周期求参数，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数的性质判断的等边三角形.
15、
【解析】根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根区间
考点：二分法
【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间
16、
【解析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.
【详解】与对立，，
与互斥，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）2
【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）进行对数的运算即可
【详解】（1）原式=；
（2）原式=lg5（lg5+lg20）+lg4=2（lg5+lg2）=2
【点睛】本题主要考查分数指数幂和对数的运算，考查对数的换底公式．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
18、（1）（2）存在2个点C符合要求
【解析】（1）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,由,若面积最大,则到距离最大,即最大,求解即可；
（2）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,则点为圆与圆的交点,进而由两圆的位置关系即可得到符合条件的点的个数
【详解】解：
（1）由,得,
化简,即,
所以,
当时,有最大值,此时点到距离最大为,
因为,所以面积的最大值为
（2）存在,
由,得,
化简得,即.
故点C在以为圆心,半径为2的圆上,
结合（1）中知,
点C还在以为圆心,半径为的圆上,
由于,,,且,
所以圆M、圆N相交,有2个公共点,
故存在2个点C符合要求.
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查圆与圆的位置关系的应用,考查运算能力
19、 (Ⅰ)2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为
试题解析：
（Ⅰ）由条件可得
，
因为与垂直，
所以，
即，
所以，
所以.
（Ⅱ）由得
，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为.
20、（1），；
（2），.
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法解出集合A，根据分式不等式解出结合B；
（2）由交集、并集的概念和运算即可得出结果.
【小问1详解】
由题意知，
，
且
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以，
.
21、（1）；（2）分钟；（3）见详解.
【解析】（1）由只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.
【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，，将两式联立解之得；当时，，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.
【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.