2025年河北省张家口市第四中学数学高一上期末调研试题含解析.doc

2025年河北省张家口市第四中学数学高一上期末调研试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设全集,, ,则图中阴影部分表示的集合为

A. B.
C. D.
2．设，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数的最小正周期是（　　）
A.1 B.2
C. D.
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6．当时，函数（，），取得最小值，则关于函数，下列说法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线对称
D.是偶函数且图象关于直线对称
7．若，，则是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（　　）
A. B.
C. D.
9．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：

1.00
1.25
1.375
1.50

1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为
A.1.125 B.1.3125
C.1.4375 D.1.46875
10．已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A.{x|x>2} B.
C.{或x>2} D.{或x>2}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最大值为____________
12．已知向量，，若，则的值为________.
13．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
14．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示.则下列结论：

①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；
④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是_____
15．已知向量，，若，，，则的值为__________
16．若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
18．已知函数，，且.
（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
19．已知.
（1）指出函数的定义域，并求，，，的值；
（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；
（3）解不等式：.
20．设函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求的单调递增区间.
21．某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.7元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为.试问当地电价最低为多少元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】，阴影部分表示的集合为，选B.
2、A
【解析】由对数函数的图象和性质知，，则.又因为，根据已知可算出其取值范围，进而得到答案.
【详解】解：因为，，所以，
又＋，
所以，所以.
故选：A.
3、D
【解析】
根据题意，依次判断选项中函数的奇偶性、单调性，从而得到正确选项.
【详解】根据题意，依次判断选项：
对于A，，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，，是余弦函数，是偶函数，
在区间上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，，是二次函数，其开口向下对称轴为y轴，
既是偶函数又在上单调递增，
故选：D.
4、A
【解析】根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】因为，所以函数的最小正周期；
故选：A
5、C
【解析】利用指数函数和对数函数的性质确定a，b，c的范围，由此比较它们的大小.
【详解】∵ 函数在上为减函数，，
∴ ，即，
∵ 函数在上为减函数，，
∴ ，即，
函数在上为减函数，
，即
∴ .
故选：C.
6、C
【解析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为当时，函数取得最小值，
所以，因为，
所以令，即，所以，
设，
因为，
所以函数是奇函数，因此选项B、D不正确；
因为，，
所以，因此函数关于直线对称，因此选项A不正确，
故选：C
7、B
【解析】根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案.
【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，
由，可得的终边在第二象限或第四象限，
因为，同时成立，所以是第二象限角.
故选：B
8、C
【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求
【详解】∵由已知可得r，
而|AB|，
∴|AB|r
故选C
【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题
9、B
【解析】
根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可.
【详解】根据二分法的思想,因为,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
由表格知,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
可知区间和中必有一个存在的零点,
而区间长度为,
因此是一个近似解,
故选:B.
【点睛】本题考查二分法求零点问题,注意满足题意的区间要满足两个条件:①区间端点的函数值要异号;②区间长度要小于精确度0.1.
10、C
【解析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
详解】依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用二倍角公式将化为，利用三角函数诱导公式将化为，然后利用二次函数的性质求最值即可
【详解】因为，
所以当时，取到最大值.
【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题
12、
【解析】因为，，，
所以，解得，
故答案为：
13、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念
14、②④
【解析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，
所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，
则，，，所以，，
所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.
故答案为：②④.
15、C
【解析】分析：由，，，可得向量与平行，且，从而可得结果.
详解： ∵，，，
∴向量与平行，
且，
∴．故答案为.
点睛：本题主要考查共线向量的坐标运算，平面向量的数量积公式，意在考查对基本概念的理解与应用，属于中档题
16、
【解析】
根据正弦函数图象的对称性求解．
【详解】依题意可知，
得，
所以，
故当时，取得最小值.
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数的对称轴方程是，对称中心是

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）400吨；
（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【解析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
【小问1详解】
由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当，即时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
【小问2详解】
不获利，设该单位每个月获利为S元，则，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
18、（1）..（2）
【解析】
（1）由求得，作出函数图象可知的范围；
（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为，所以.
函数大致图象如图所示

令，得.
故有3个不同的零点.
即方程有3个不同的实根.
由图可知.
（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.
因为，且函数在区间上为增函数，
所以可得，解得.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．
19、（1）的定义域;;;;;（2）详见详解;（3）
【解析】（1）根据真数大于零,列出不等式组,即可求出定义域;代入函数解析式求出,,,的值.
（2）与,与关系,猜想是奇函数,利用奇函数的定义可证明.
（3）求出,由对数的运算性质和对数的单调性即可得到所求.
【详解】（1）要使函数有意义须,
函数的定义域是；
;;
;.
（2）由从（1）得到=,=,猜想是奇函数,以下证明：
在上任取自变量,
所以是奇函数.
（2）
所以，原不等式等价于

所以原不等式的解集为
【点睛】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性的判断与证明,考查不等式的解法,注意应用函数的单调性转化不等式,求解不等式不要忽略了定义域,是解题的易错点,属于中档题.
20、（1）最小正周期，最大值为；（2）.
【解析】把化简为，
（1）直接写出最小正周期和最大值；
（2）利用正弦函数的单调性直接求出单调递增区间.
【详解】

（1）的最小正周期;最大值为；
（2）要求的单调递增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
21、电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.
【解析】 根据题意列新增用电量，再乘以单价利润得收益，列不等式，解一元二次不等式，根据限制条件取交集得电价取值范围，即得最低电价
试题解析：设新电价为元/千瓦时，则新增用电量为千瓦时.依题意，有，
即，整理，得，
解此不等式，得或，又，
所以，，
因此，，即电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.