组合变形的强度计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,12,组合变形的强度计算,本章主要研究组合变形的概念、斜弯曲和偏心拉伸（压缩）的强度计算、截面核心。,本章提要,本 章 内 容,12.1,组合变形的概念,12.2,斜弯曲,12.3,偏心压缩（拉伸）,12.4,截面核心,12.1,组合变形的概念,在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为,组合变形,。,例如,，,图,12.1(a),所示,的屋架檩条；,图,12.1(b),所示,的空心墩；,图,12.1(c),所示,的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。,12.1.1,组合变形的概念,图,12.1,解决组合变形强度问题，,分析和计算的基本步骤：,首先,将构件的组合变形分解为基本变形；,然后,计算构件在每一种基本变形情况下的应力；,最后,将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。,试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。,12.1.2,组合变形的解题方法,12.2,斜弯曲,对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为,平面弯曲,。,如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为,斜弯曲,。,如图,12.2(a),所示,的矩形截面悬臂梁，集中力,P,作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴,y,的夹角为,。,将力,P,沿截面两个形心主轴,y,、,z,方向分解为两个分力，得,P,y,=Pcos,P,z,=Psin,分力,P,y,和,P,z,将分别使梁在,xOy,和,xOz,两个主平面内发生平面弯曲。,12.2.1,外力的分解,图,12.2,在距自由端为,x,的横截面上，两个分力,P,y,和,P,z,所引起的弯矩值分别为,M,z,=P,y,x=Pcosx=Mcos,M,y,=P,z,x=Psinx=Msin,该截面上任一点,K(y,，,z),，由,M,z,和,M,y,所引起的正应力分别为,=M,z,y/I,z,=y Mcos/I,z,=M,y,z/I,y,=z Msin/I,y,12.2.2,内力和应力的计算,根据叠加原理，,K,点的正应力为,=,+,=M,z,y/I,z,+M,y,z/I,y,=M(ycos/I,z,+zsin/I,y,),式中,Iz,和,Iy,分别是横截面对形心主轴,z,和,y,的惯性矩。正应力,和,的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，,如图,12.2(b),所示,，拉应力取正号，压应力取负号。,图,12.2,因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为,y,0,和,z,0,，将,=0,代入式,(12.1),，有,=M(y,0,cos/I,z,+z,0,sin/I,y,)=0,则,y,0,cos/I,z,+z,0,sin/I,y,=0,上式称为,斜弯曲时中性轴方程式,。,12.2.3,中性轴的位置,从中可得到中性轴,有如下特点：,(1),中性轴是一条通过形心的斜直线。,(2),力,P,穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。,(3),中性轴与,z,轴的夹角,(,图,12.2(c),的正切为,tan=,y,0,/z,0,=I,z,/I,y,tan,从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载,P,与,y,轴的夹角,及截面的形状和尺寸。,图,12.2,进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。,图,12.2(a),所示,的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的,B,、,C,两点为危险点，,B,点产生最大拉应力，,C,点产生最大压应力。,若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为,max,=M,zmax,/W,z,+M,ymax,/W,y,12.2.4,强度条件,对于不同的截面形状，,W,z,/W,y,的比值可按下述范围选取：,矩形截面：,W,z,/W,y,=h/b=1.2,2,；,工字形截面：,W,z,/W,y,=8,10,；,槽形截面：,W,z,/W,y,=6,8,。,【,例,12.1】,跨度,l=4m,的吊车梁，用,32a,号工字钢制成，材料为,A3,钢，许用应力,=160MPa,。作用在梁上的集中力,P=30kN,，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角,=15,，,如图,12.3,所示,。试校核吊车梁的强度。,【,解,】,(1),荷载分解,将荷载,P,沿梁横截面的,y,、,z,轴分解,P,y,=Pcos=30cos15kN=29kN,P,z,=Psin=30sin15kN=7.76kN,(2),内力计算,吊车荷载,P,位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。,该截面上由,P,y,在,xOy,平面内产生的最大弯矩为,M,zmax,=P,y,l/4=294/4kNm=29kNm,该截面上由,P,z,在,xOz,平面内产生的最大弯矩为,M,ymax,=P,z,l/4=7.764/4 kNm=7.76kNm,(3),强度校核,由型钢表查得,32a,号工字钢的抗弯截面系数,W,y,和,W,z,分别为,W,y,=70.8cm,3,=70.810,3,mm,3,W,z,=692.2cm,3,=692.210,3,mm,3,【例,12.2】,图,12.4,所示,矩形截面木檩条，两端简支在屋架上，跨度,l=4m,。承受由屋面传来的竖向均布荷载,q=2kN/m,。屋面的倾角,=20,，材料的许用应力,=10MPa,。试选择该檩条的截面尺寸。,【,解,】,(1),荷载分解,荷载,q,与,y,轴间的夹角,=20,，将均布荷载,q,沿截面对称轴,y,、,z,分解，得,q,y,=qcos=2cos20kN/m,=1.88kN/m,q,z,=qsin=2sin20kN/m,=0.68kN/m,(2),内力计算,檩条在,q,y,和,q,z,单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截面，其值分别为,M,zmax,=qyl,2,/8=1.884,2,/8kNm=3.76kNm,M,ymax,=qzl,2,/8=0.684,2,/8kNm=1.36kNm,(3),选择截面尺寸,根据式,(12.4),，檩条的强度条件为,M,zmax,/W,z,+M,ymax,/W,y,上式中包含有,Wz,和,Wy,两个未知数。现设,W,z,/W,y,=h/b=1.5,，代入上式，得,3.7610,6,/1.5W,y,+1.3610,6,/W,y,10,W,y,38710,3,mm,3,由,W,y,=hb,2,/6=1.5b,3,/6 38710,3,解得,b115.68mm,为便于施工，取截面尺寸,b=120mm,，则,h=1.5b=1.5120mm=180mm,选用,120mm180mm,的矩形截面。,图,12.2,图,12.3,图,12.4,12.3,偏心压缩（拉伸）,图,12.5(a),所示,的柱子，荷载,P,的作用线与柱的轴线不重合，称为,偏心力,，其作用线与柱轴线间的距离,e,称为,偏心距,。偏心力,P,通过截面一根形心主轴时，称为,单向偏心受压,。,(1),荷载简化和内力计算,将偏心力,P,向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力,P,和一个力偶矩,m=Pe,的力偶，,如图,12.5(b),所示,。,横截面,m-n,上的内力为轴力,N,和弯矩,M,z,，其值为,N=P,M,z,=Pe,12.3.1,单向偏心压缩（拉伸）,(2),应力计算,对于该横截面上任一点,K(,图,12.6,),，由轴力,N,所引起的正应力为,=-N/A,由弯矩,Mz,所引起的正应力为,=-M,z,y/I,z,根据叠加原理，,K,点的总应力为,=+=-,N,/,A,-,M,z,y,/,I,z,(3),强度条件,从,图,12.6(a),中可知：最大压应力发生在截面与偏心力,P,较近的边线,n-n,线上；最大拉应力发生在截面与偏心力,P,较远的边线,m-m,线上。其值分别为,min,=,ymax,=-P/A-M,z,/W,z,max,=,lmax,=-P/A+M,z,/W,z,截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为,min,=,yma,x=,-P/A-M,z,/W,z,y,max,=,lmax,=-P/A+M,z,/W,z,l,(4),讨论,下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距,e,之间的关系。,图,12.6(a),所示的偏心受压柱，截面尺寸为,bh,，,A=bh,，,W,z,=bh,2,/6,，,M,z,=Pe,，将各值代入得,max,=-P/bh+Pe/bh,2,/6=-P/bh(1-6e/h),边缘,m-m,上的正应力,max,的正负号，由上式中,(1-6e/h),的符号决定，,可出现三种情况：,当,6e/h 1,，即,e1,，即,e h/6,时，,max,为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布,如图,12.7(c),所示,。,【,例,12.3】,图,12.8,所示,矩形截面柱，屋架传来的压力,P,1,=100kN,，吊车梁传来的压力,P,2,=50kN,，,P2,的偏心距,e=0.2m,。已知截面宽,b=200mm,，试求：,(1),若,h=300mm,，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少,?,(2),欲使柱截面不产生拉应力，截面高度,h,应为多少,?,在确定的,h,尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少,?,【,解,】,(1),内力计算,将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为,N=P,1,+P,2,=(100+50)kN=150kN,截面的弯矩为,M,z,=P,2,e=500.2kNm=10kNm,(2),计算,lmax,和,ymax,由式,(12.6),，得,lmax,=-P/A+M,z,/W,z,=(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa,ymax,=-P/A-M,z,/W,z,=(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa,(3),确定,h,和计算,ymax,欲使截面不产生拉应力，应满足,lmax,0,，即,-P/A+Mz/Wz 0,-15010,3,/200h+1010,6,/200h,2,/6 0,则,h400mm,取,h=400mm,当,h=400mm,时，截面的最大压应力为,ymax,=-P/A-M,z,/W,z,=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa,对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。,【例,12.4】,图,12.9(a),所示,的悬臂式起重架，在横梁的中点,D,作用集中力,P=15.5kN,，横梁材料的许用应力,=170MPa,。试按强度条件选择横梁工字钢的型号,(,自重不考虑,),。,【,解,】,(1),计算横梁的外力,横梁的受力图,如图,12.9(b),所示,。为了计算方便，将拉杆,BC,的作用力,NBC,分解为,N,x,和,N,y,两个分力。由平衡方程解得,R,y,=N,y,=P/2=7.75kN,R,x,=N,x,=N,y,cot=7.75 3.4/1.5 kN=17.57kN,(2),计算横梁的内力,横梁在,R,y,、,P,和,N,y,的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面,D,的弯矩最大，其值为,M,max,=Pl/4=15.53.4/4 kNm=13.18kNm,横梁在,R,x,和,N,x,作用下产生轴向压缩，各截面的轴力都相等，其值为,N=R,x,=17.57kN,(3),选择工字钢型号,由式,(12.7),，有,ymax,=,-N/A-M,max,/W,z,由于式中,A,和,W,z,都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力,N,的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由,max,=M,max,/W,z,得,W,z,M,max,/,=77.510,3,mm,3,=77.5cm,3,查型钢表，选择,14,号工字钢，,W,z,=102cm,3,，,A=21.5cm,2,。,根据式,(12.7),校核，有,ymax,=,-N/A-M,max,/W,z,=137MPa,结果表明，强度足够，横梁选用,14,号工字钢。若强度不够，则还需重新选择。,图,12.5,图,12.6,图,12.6,图,12.7,图,12.8,图,12.9,当偏心压力,P,的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为,双向偏心压缩,。,如图,12.10(a),所示,，偏心压力,P,至,z,轴的偏心距为,e,y,，至,y,轴的偏心距为,e,z,。,12.3.2,双向偏心压缩（拉伸）,(1),荷载简化和内力计算,将压力,P,向截面的形心,O,简化，得到一个轴向压力,P,和两个附加力偶矩,m,z,、,m,y,(,图,12.10(b),，其中,m,z,=Pe,y,，,m,y,=Pe,z,可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。,由截面法可求得任一截面,ABCD,上的内力为,N=P,，,M,z,=Pe,y,，,M,y,=Pe,z,(2),应力计算,对于该截面上任一点,K(,图,12.10(c),，由轴力,N,所引起的正应力为,=-N/A,由弯矩,Mz,所引起的正应力为,=-M,z,y/I,z,由弯矩,My,所引起的正应力为,=-M,y,z/I,y,根据叠加原理，,K,点的总应力为,=+=-,N,/,A,-,M,z,y,/,I,z,-,M,y,z,/,I,y,(3),强度条件,由,图,12.10(c),可见，最大压应力,min,发生在,C,点，最大拉应力,max,发生在,A,点，其值为,min,=,ymax,=-P/A-M,z,/W,z,-M,y,/W,y,max,=,lmax,=-P/A+M,z,/W,z,+M,y,/W,y,危险点,A,、,C,均处于单向应力状态，所以强度条件为,min,=,ymax,=-P/A-M,z,/W,z,-M,y/,W,y,y,max,=,lmax,=-P/A+M,z,/W,z,+M,y,/W,y,l,图,12.10,图,12.10,图,12.10,图,12.10,12.4,截面核心,在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力,P,的偏心距小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷载作用区域称为,截面核心,。,12.4.1,截面核心的概念,在,图,12.11,中画出了圆形、矩形、工字形和槽形等四种截面的截面核心，其中,i,y,2,=I,y,/A,，,i,z,2,=I,z,/A,。,12.4.2,几种常见截面的截面核心,图,12.11,