导数的概念宣讲教育课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的概念.宣讲PPT讲座,3.1 导数的概念,1.曲线的切线,y=f(x),P,Q,M,x,y,O,x,y,P,y=f(x),Q,M,x,y,O,x,y,如图,曲线C是函数y=f(x),的图象,P(x,0,y,0,)是曲线C上的,任意一点,Q(x,0,+,x,y,0,+,y),为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的,倾斜角.,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,请看当,点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即,x,0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的,切线的斜率,.,即:,这个概念:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;,切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;,2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1:求曲线y=f(x)=x,2,+1在点P(1,2)处的切线方程.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程,的基本步骤:先利用切线斜率,的定义求出切线的斜率,然后,利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求,过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1,(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:,y=3x-4,.,2.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为,s,s,(,t,)(,表示位移,t,表示时间),求物体在,t,0,时刻的速度,如图设该物体在时刻t,0,的位置是,(t,0,),OA,0,在时刻t,0,+,t 的位置是,s,(t,0,+,t)=,OA,1,则从t,0,到 t,0,+,t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段,(t,0,+,D,t)t,0,=,D,t,内，物体的平均速度为:,平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过,瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻,t,的,瞬时速度,v,，就是物体在,t,到 t+,t这段时间内，当,t,0,时平均速度:,例1:,物体作自由落体运动,运动方程为：其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s,2,.求：,(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度；,(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度；,(3)物体在,t,=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1),将,t=0.1代入上式，得:,(2),将,t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的,瞬时速度,等于20(m/s).,当时间间隔,t,逐渐变小时,平均速度就越接近t,0,=2(s)时的,瞬时速度v,=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t,2,+6,求:,(1)2,t,2+,t这段时间内的平均速度,这里,t取值,范围为1;,(2)t=2时刻的瞬时速度.,3.导数的概念,从,上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数,学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义,：设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处及其附近有定义,当自变量,x,在点,x,0,处有改变量,x时函数有相应的改变量,y=f(,x,0,+,x)-f(,x,0,).如果当,x,0,时,y/,x的极限存在,这个极限就叫做函数,f,(,x,)在点,x,0,处的导数(或变化率)记作 即:,如,瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.,是,函数,f,(,x,)在以,x,0,与,x,0,+,x,为端点的区间,x,0,x,0,+,x(或,x,0,+,x,x,0,)上的,平均变化率,而导数则是函数,f,(,x,)在点,x,0,处的,变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f(x)在点x=x,0,存在导数,就说函数y=f(x)在点x,0,处,可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x,0,处,不可导,.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x,0,处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.,自变量的增量,x的形式是多样的,但不论x选择,哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,例1:(1)求函数y=x,2,在,x=,1处的导数;,(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数,y,f,(,x,)在区间(,a,b,)内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,)在区间(,a,b,)内可导.这时,对每一个x,(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(,a,，,b,)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)内的,导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称,导数,如果函数y=f(x)在点x,0,处可导,那么函数在点x,0,处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x,0,处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线的斜率，即曲线y=,f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线的斜率是 .,故,曲线y=f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:如图,已知曲线 ,求:,(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点P处的切线的斜率等于4.,(2),在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例1:判断下列各命题的真假:,(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P,1,P,2,P,3,P,n,则过P,0,与P,n,两点的直线的,斜率就是函数在点P,0,处的导数.,答:由函数在点P,0,处的导数的几何意义知:函数在点,P,0,处的导数是过P,0,点曲线(即函数y=f(x)的图象),的切线的斜率,而不是割线P,0,P,n,的斜率,故它是一,个假命题.,(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t,0,的瞬,时速度V等于,答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真,命题.,(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要,函数在x,0,处连续,则 就必存在.,5.例题选讲,答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但,它在x=0处的导数不存在.,(4)设,是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P,1,P,2,P,3,三点处的导数均存在.若 ,则必有,答:,由于f(x)的导函,数 未必是单调增函数.因此,不一定成立,例如f(x)=x,3,则 显然有,故是假命题.,说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处,切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要,把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证,而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.,例2:设函数f(x)在点x,0,处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x,0,处可导的条件,将题目中给定,的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定,义中,自变量的增量,x的形式是多样的,但不论,x,选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,例3:证明,:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;,(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练,习用.,练习1:设函数f(x)在点x,0,处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.,从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.,注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.,练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x,0,=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.,故函数f(x)=|x|(1+x)在点x,0,=0处没有导数,即不可导.,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数,学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物,理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过,程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增,量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”,之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改,变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个,常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果,函数,y,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导，这时，,对于开区间内每一个确定的值x,0,，都对应着一,个确定的导数 ，这样就在开区间(,a,b,)内,可构成一个新的函数，称作,f(x)的导函数。,（4）函数f(x)在点x,0,处的导数 就是导函数,在x=x,0,处的函数值，即 。这也是,求函数在点x,0,处的导数的方法之一。,d.函数f(x)在点x,0,处有导数，则在该点处函数f(x)的曲,线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x),的曲线在点x,0,处有切线，而函数f(x)在该点处不一定,可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,e.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点(x,0,f(x,0,)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求,函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导,数概念。,