2024年广东省广州市数学中考试卷（含答案）.docx

2024 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）四个数﹣10，﹣1，0，10 中，最小的数是（ ）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

2．（3 分）下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3 分）若 a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a2＝a5 C． • ＝ D．a3÷a2＝1 4．（3 分）若 a＜b，则（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

5．（3 分）为了解公园用地面积 x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地 50 个公园的用地面积，按照 0

＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20 的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是

（ ）

A．a 的值为 20

B. 用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多
C. 用地面积在 4＜x≤8 这一组的公园个数最少

D. 这 50 个公园中有一半以上的公园用地面积超过 12 公顷

6．（3 分）某新能源车企今年 5 月交付新车 35060 辆，且今年 5 月交付新车的数量比去年 5 月交付的新车数量的 1.2

倍还多 1100 辆．设该车企去年 5 月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为（ ）

A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060

C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2

7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D 为边 BC 的中点，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，AE＝
CF，则四边形 AEDF 的面积为（ ）

A．18 B．9 C．9 D．6
8．（3 分）函数 y1＝ax2+bx+c 与 y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2 均随着 x 的增大而减小．

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
9．（3 分）如图，⊙O 中，弦 AB 的长为 4，点 C 在⊙O 上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O 所在的平面内有一点
P，若 OP＝5，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）

A．点 P 在⊙O 上 B．点 P 在⊙O 内 C．点 P 在⊙O 外 D．无法确定

10．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇形，若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是（ ）

A． π B． π C．2 π D．π
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）如图，直线 l 分别与直线 a，b 相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2 的度数为 .

12．（3 分）如图，把 R1，R2，R3 三个电阻串联起来，线路 AB 上的电流为 I，电压为 U，则 U＝IR1+IR2+IR3，当 R1
＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2 时，U 的值为 ．

13．（3 分）如图，▱ABCD 中，BC＝2，点 E 在 DA 的延长线上，BE＝3，若 BA 平分∠EBC，则 DE＝ ．

14．（3 分）若 a2﹣2a﹣5＝0，则 2a2﹣4a+1＝ ．
15．（3 分）定义新运算：a⊗b＝ 例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若 x⊗1＝﹣
，则 x 的值为 ．
16．（3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 B 在函数 y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C
（0，2）．将线段 AB 沿 x 轴正方向平移得线段 A'B'（点 A 平移后的对应点为 A′），A'B'交函数 y＝（x＞0）的图象于点 D，过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD 的面积等于四边形 ABDA′的面积；
③A'E 的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程：＝．

18．（4 分）如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．

19．（6 分）如图，Rt△ABC 中，∠B＝90°．
（1） 尺规作图：作 AC 边上的中线 BO（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 在（1）所作的图中，将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO，连接 AD，CD．求证：四边形 ABCD 是矩形．

20．（6 分）关于 x 的方程 x2﹣2x+4﹣m＝0 有两个不等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）化简： ÷ • ．

A 组
75
78
82
82
84
86
87
88
93
95
B 组
75
77
80
83
85
86
88
88
92
96

21．（8 分）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对 A，B 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：

（1） 求 A 组同学得分的中位数和众数；

（2） 现从 A，B 两组得分超过 90 分的 4 名同学中随机抽取 2 名同学参与访谈，求这 2 名同学恰好来自同一组的概率．


22．（10 分）2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点，再垂直下降到着陆点 C，从 B 点测得地面 D 点的俯角为 36.87°，AD＝17 米，BD＝10 米．
（1） 求 CD 的长；

（2） 若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，求模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

脚长 x（cm）
…
23
24
25
26
27
28
…
身高 y（cm）
…
156
163
170
177
184
191
…

23．（10 分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 y 和脚长 x 之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：

（1） 在图 1 中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2） 根据表中数据，从 y＝ax+b（a≠0）和 y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3） 如图 2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
24．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠C＝120°．点 E 在射线 BC 上运动（不与点 B，点 C 重合），△AEB 关于 AE
的轴对称图形为△AEF．（1）当∠BAF＝30°时，试判断线段 AF 和线段 AD 的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若 AB＝6+6，⊙O 为△AEF 的外接圆，设⊙O 的半径为 r．
①求 r 的取值范围；
②连接 FD，直线 FD 能否与⊙O 相切？如果能，求 BE 的长度；如果不能，请说明理由．

25．（12 分）已知抛物线 G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点 A（x1，2）和点 B（x2，2），直线 l：y＝m2x+n 过点 C（3，1），交线段 AB 于点 D，记△CDA 的周长为 C1，△CDB 的周长为 C2，且 C1＝C2+2．
（1） 求抛物线 G 的对称轴；

（2） 求 m 的值；

（3） 直线 l 绕点 C 以每秒 3°的速度顺时针旋转 t 秒后（0≤t＜45）得到直线 l′，当 l′∥AB 时，直线 l′交抛物线 G
于 E，F 两点．

①求 t 的值；
②设△AEF 的面积为 S，若对于任意的 a＞0，均有 S≥k 成立，求 k 的最大值及此时抛物线 G 的解析式．

2024 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）四个数﹣10，﹣1，0，10 中，最小的数是（ ）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小， 绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，∴最小的数是：﹣10． 故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．

2．（3 分）下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的性质解答即可．

【解答】解：由题可知，A、B、D 不是中心对称图形，C 是中心对称图形图形． 故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键．
3．（3 分）若 a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．+ ＝ B．a3•a2＝a5 C． • ＝ D．a3÷a2＝1
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：+ ＝ ＝ ，则 A 不符合题意；
a3•a2＝a5，则 B 符合题意；
• ＝ ，则 C 不符合题意；
a3÷a2＝a，则 D 不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

4．（3 分）若 a＜b，则（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．

【解答】解：若 a＜b，两边同时加上 3 得 a+3＜b+3，则 A 不符合题意；

若 a＜b，两边同时减去 2 得 a﹣2＜b﹣2，则 B 不符合题意；
若 a＜b，两边同时乘﹣1 得﹣a＞﹣b，则 C 不符合题意；
若 a＜b，两边同时乘 2 得 2a＜2b，则 D 符合题意；
故选：D．

【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

5．（3 分）为了解公园用地面积 x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地 50 个公园的用地面积，按照 0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20 的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）

A．a 的值为 20

B．用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多
C．用地面积在 4＜x≤8 这一组的公园个数最少

D．这 50 个公园中有一半以上的公园用地面积超过 12 公顷
【分析】用样本容量 50 分别减去其它四组的频数可得 a 的值；根据频数分布直方图可知用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多，用地面积在 0＜x≤4 这一组的公园个数最少，这 50 个公园中有 20 个公园用地面积超过 12 公顷．
【解答】解：由题意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故选项 A 不符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多，故选项 B 符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在 0＜x≤4 这一组的公园个数最少，故选项 C 不符合题意；
由频数分布直方图可知，这 50 个公园中有 20 个公园用地面积超过 12 公顷，没有达到一半，故选项 D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，解决问题的关键是在频数分布直方图中获取数据进行计算．

6． （3 分）某新能源车企今年 5 月交付新车 35060 辆，且今年 5 月交付新车的数量比去年 5 月交付的新车数量的 1.2 倍还多 1100 辆．设该车企去年 5 月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为（ ）
A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060
C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2
【分析】等量关系：今年 5 月交付新车的数量＝1.2×去年 5 月交付的新车数量+1100．

【解答】解：根据题意，得 1.2x+1100＝35060． 故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D 为边 BC 的中点，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，AE＝CF，则四边形 AEDF 的面积为（ ）
A．18 B．9 C．9 D．6

【分析】由等腰直角三角形的性质可得 AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得 S△ADE＝S△CDF，即可求解．
【解答】解：如图，连接 AD，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D 为边 BC 的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18， 在△ADE 和△CDF 中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴四边形 AEDF 的面积＝S△ADC＝S△ABC＝9， 故选：C．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（3 分）函数 y1＝ax2+bx+c 与 y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2 均随着 x 的增大而减小．

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1

【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可．
【解答】解：根据二次函数图象当 x＞1 时，y1 随着 x 的增大而减小，同样当 x＞1 时，反比例函数 y2 随着 x 的增大而减小．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．

9．（3 分）如图，⊙O 中，弦 AB 的长为 4，点 C 在⊙O 上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O 所在的平面内有一点 P，若 OP＝5，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）

A．点 P 在⊙O 上 B．点 P 在⊙O 内 C．点 P 在⊙O 外 D．无法确定
【分析】先根据垂径定理得出 AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知 OA＝2OD，设 OD＝x，则 OA＝2x，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 OA 的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：设 AB 与 OC 交于点 D，
∵弦 AB 的长为 4，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2 ，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴OA＝2OD，
设 OD＝x，则 OA＝2x，
在 Rt△AOD 中，OD2+AD2＝OA2，即 x2+（2）2＝（2x）2， 解得 x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴点 P 在圆外．
故选：C．

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有 3 种．设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP＝d，则有点 P 在圆外⇔d＞r；点 P 在圆上⇔d＝r； 点 P 在圆内⇔d＜r 是解题的关键．
10．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇形，若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是（ ）

A．π B．π C．2 π D． π
【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高， 然后根据圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为＝2π， 故圆锥的底面圆的半径为＝1，所以圆锥的高为： ＝ ，该圆锥的体积是： ＝ π．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： .

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）如图，直线 l 分别与直线 a，b 相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2 的度数为 109° .

【分析】由邻补角的性质得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°．
【解答】解：∵∠1＝71°，
∴∠3＝180°﹣71°＝109°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝109°． 故答案为：109°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°．
12．（3 分）如图，把 R1，R2，R3 三个电阻串联起来，线路 AB 上的电流为 I，电压为 U，则 U＝IR1+IR2+IR3，当 R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2 时，U 的值为 220 ．

【分析】根据题干条件代值即可．

【解答】解：由题意可得 U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220． 故答案为：220．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键．

13．（3 分）如图，▱ABCD 中，BC＝2，点 E 在 DA 的延长线上，BE＝3，若 BA 平分∠EBC，则 DE＝ 5 ．

【分析】由平行四边形的性质得 AD∥BC，AD＝BC＝2，则∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，则 AE＝BE＝3，求得 DE＝AD+AE＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA 平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD+AE＝2+3＝5， 故答案为：5．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、“等角对等边”等知识，推导出∠EAB＝∠EBA 是解题的关键．
14．（3 分）若 a2﹣2a﹣5＝0，则 2a2﹣4a+1＝ 11 ．
【分析】由已知条件可得 a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，
∴a2﹣2a＝5，
∴原式＝2（a2﹣2a）+1
＝2×5+1
＝11，

故答案为：11．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．

15．（3 分）定义新运算：a⊗b＝ 例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣ ，则 x 的值为 ﹣或 ．
【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x⊗1＝﹣ ，
∴当 x≤0 时，x2﹣1＝﹣，
解得 x＝﹣ 或 x＝ （不合题意，舍去）；
当 x＞0 时，﹣x+1＝﹣， 解得 x＝；
由上可得，x 的值为﹣或 ， 故答案为：﹣或 ．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

16．（3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 B 在函数 y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段 AB 沿 x 轴正方向平移得线段 A'B'（点 A 平移后的对应点为 A′），A'B'交函数 y＝ （x＞0）的图象于点 D，过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD 的面积等于四边形 ABDA′的面积；
③A'E 的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数 k 值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形 OABC 的顶点 B 在函数 y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点 B、点 D 在函数 y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝ ，
∴S△OBM＝S 梯形 AMDA′，
∴S△OBD＝S 梯形 ABDA′，故②正确；
③根据矩形对角线相等，A'E＝OD，根据双曲线的轴对称性，可知当点 D 落在直线 y＝x 与双曲线 y＝ 的交点（ ， ）时，OD 最短，最短为 2，所以 A'E 的最小值为 2，故③错误．

④向右平移的过程中角 B′BD 与角 BB′O 变化相同，这两个角刚好是矩形 BB′ND 的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：①②④．

【点评】本题考查了反比例函数 k 值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程：＝．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得 x 的值后进行检验即可．

【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15， 解得：x＝3，检验：当 x＝3 时，x（2x﹣5）≠0， 故原方程的解为 x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．

18．（4 分）如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．

【分析】先根据 BE＝3，EC＝6 得出 BC 的长，进而可得出 AB 的长，由相似三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3+6＝9，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴△ABE∽△ECF．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
19．（6 分）如图，Rt△ABC 中，∠B＝90°．
（1） 尺规作图：作 AC 边上的中线 BO（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 在（1）所作的图中，将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO，连接 AD，CD．求证：四边形ABCD 是矩形．

【分析】（1）作线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 O，连接 BO，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．

【解答】（1）解：如图所示，线段 BO 为 AC 边上的中线；
（2）证明：∵点 O 是 AC 的中点，
∴AO＝CO，
∵将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO，
∴BO＝DO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．

20．（6 分）关于 x 的方程 x2﹣2x+4﹣m＝0 有两个不等的实数根．
（1） 求 m 的取值范围；
（2）化简： ÷ • ．
【分析】（1）根据判别式的意义得到 Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．
（2） 根据 m 的取值范围化简即可．

【解答】解：（1）根据题意得 Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，解得 m＞3；
（2）∵m＞3，
∴m﹣3＞0，
÷
•
∴
＝ • •
＝﹣2．
【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于 m 的不等式是解题的关键．
21．（8 分）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对 A，B 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：

A 组
75
78
82
82
84
86
87
88
93
95
B 组
75
77
80
83
85
86
88
88
92
96
（1） 求 A 组同学得分的中位数和众数；

（2） 现从 A，B 两组得分超过 90 分的 4 名同学中随机抽取 2 名同学参与访谈，求这 2 名同学恰好来自同一组的概率．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这 2 名同学恰好来自同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）将 10 名 A 组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第 5 和第 6 名的成绩为 84， 86，
∴A 组同学得分的中位数为（84+86）÷2＝85（分）．由表格可知，A 组同学得分的众数为 82 分．
（2）将 A 组的两名同学分别记为甲、乙，将 B 组的两名同学分别记为丙，丁， 画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中这 2 名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共 4 种，
∴这 2 名同学恰好来自同一组的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
22．（10 分）2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点，再垂直下降到着陆点 C，从 B 点测得地面 D 点的俯角为 36.87°，AD＝17 米，BD＝10 米．

（1） 求 CD 的长；
（2） 若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，求模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间．

参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

【分析】（1）根据题意可得：AC⊥CD，BE∥CD，从而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在 Rt△BCD 中，利用锐角三角函数的定义求出 CD 的长，即可解答；
（2）在 Rt△BCD 中，利用锐角三角函数的定义求出 BC 的长，然后在 Rt△ACD 中，利用勾股定理求出AC 的长，从而利用线段的和差关系求出 AB 的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：

由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°， 在 Rt△BCD 中，BD＝10 米，
∴CD＝BD•cos36.87°≈10×0.80＝8（米），
∴CD 的长约为 8 米；
（2）在 Rt△BCD 中，BD＝10 米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD•sin36.87°≈10×0.6＝6（米）， 在 Rt△ACD 中，AD＝17 米，CD＝8 米，
∴AC＝＝＝15（米），
∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），
∵模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间＝9÷2＝4.5（秒），
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间约为 4.5 秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

23．（10 分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 y 和脚长 x 之间近似存在一个函数关系， 部分数据如表：
脚长 x（cm）
…
23
24
25
26
27
28
…
身高 y（cm）
…
156
163
170
177
184
191
…

（1） 在图 1 中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2） 根据表中数据，从 y＝ax+b（a≠0）和 y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3） 如图 2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．

【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可；
（2） 先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（3） 将 x＝25.8 代入一次函数解析式求出 y 值即可．
【解答】解：（1）描点如图示：

（2）∵y＝ （k≠0）转化为 k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••，
∴y 与 x 的函数不可能是 y＝，
故选一次函数 y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得：

，解得 ，

∴一次函数解析式为 y＝7x﹣5．
（3）当 x＝25.8 时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．
答：脚长约为 25.8cm，估计这个人的身高为 175.6cm．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．

24．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠C＝120°．点 E 在射线 BC 上运动（不与点 B，点 C 重合），△AEB关于 AE 的轴对称图形为△AEF．（1）当∠BAF＝30°时，试判断线段 AF 和线段 AD 的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若 AB＝6+6，⊙O 为△AEF 的外接圆，设⊙O 的半径为 r．
①求 r 的取值范围；
②连接 FD，直线 FD 能否与⊙O 相切？如果能，求 BE 的长度；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）根据折叠的性质和菱形的性质易得 AB＝AF＝AD 再根据角度求出∠DAF＝90°即可得证；
（2）画出示意图，找到半径 r 和 AE 的关系，在求出 AE 的范围即可求解；
（3）画出示意图，利用弦切角定理和圆周角定理以及等腰三角形的性质可求得∠AEF＝∠AEB＝75°，再在解三角形 ABE 即可求解．
【解答】解：（1）AF＝AD，AF⊥AD，理由如下，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，
∵△ABE 和△AFE 关于 AE 轴对称，
∴AB＝AF，
∴AF＝AD，
∵∠BAF＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴AF⊥AD，
综上，AF＝AD，AF⊥AD．
（2）①如图，设△AEF 的外接圆圆心为 O，连接 OA、OE，作 OG⊥AE 于点 G，作 AH⊥BC 于点 H．
∵∠AFE＝∠ABE＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴OA＝ ＝ AG，
∵r＝OA＝ AG＝ • AE＝ AE， 在 Rt△ABH 中，AH＝AB•sin60°＝9+3，
∵AE≥AH，且点 E 不与 B、C 重合，
∴AE≥9+3 ，且 AE≠6+6，
∴r≥3 +3，且 r≠2+6．
（2）能相切，此时 BE＝12，理由如下：

假设存在，如图画出示意图，设△AEF 的外接圆圆心为 O，连接 OA、OF，作 EH⊥AB 于点 H，
∵∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴点 C 也在⊙O 上，
设∠AFD＝α，则∠AEF＝∠AEB＝α（弦切角），
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝α，
∴∠DAF＝180°﹣2α，
∵∠CEF＝∠CAF，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF，
∵∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF＝30°，
∴α＝75°，即∠AEB＝75°， 作 EH⊥AB 于点 H，
∵∠B＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴∠AEH＝∠EAH＝45°，
设 BH＝m，则 EH＝AH＝m，BE＝2m，
∵AB＝6+6 ，
∴m+ m＝6+6 ，
∴m＝6，
∴BE＝12．

【点评】本题主要考查了菱形的性质、切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识和画出示意图是解题关键．

25．（12 分）已知抛物线 G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点 A（x1，2）和点 B（x2，2），直线 l：y＝m2x+n 过点 C（3，1），交线段 AB 于点 D，记△CDA 的周长为 C1，△CDB 的周长为 C2，且 C1＝C2+2．
（1） 求抛物线 G 的对称轴；
（2） 求 m 的值；

（3） 直线 l 绕点 C 以每秒 3°的速度顺时针旋转 t 秒后（0≤t＜45）得到直线 l′，当 l′∥AB 时，直线 l