2025年广东省广州市数学中考试卷（含答案）.docx

2025 年广东省广州市中考数学试卷

一、单选题
1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ）
2
A． - B． -1


C．0 D．3

2. 如图，将Rt△ABC 绕直角边 AC 所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）

A. B．

C． D．

3. 下列运算正确的是（ ）
a
a
A． a 2 × a3 = a15


B． (-2ab)3 = 8a3b3

a
b
C． - =
a - b (a ³ b ³ 0)
D． 2 + 5
= 7 a (a ³ 0)

4. 关于 x 的方程 x2 - x + k 2 + 2 = 0 根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
5. 某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的 是（ ）
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温/℃
25
25
28
30
33
30
29

A. B．

C． D．

6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A(-3,1) ，点 B(-1,1) ，若将直线 y = x 向上平移 d 个单位长度后与线段 AB
有交点，则 d 的取值范围是（ ）

A． -3 £ d £ -1
B．1 £ d £ 3


C． -4 £ d £ -2


D． 2 £ d £ 4

7. 若 k = -k(k ¹ 0) ，反比例函数 y = k 的图象在（ ）
x
A. 第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
8. 如图，菱形 ABCD 的面积为 10，点 E，F，G，H 分别为 AB ， BC ，CD ， DA 的中点，则四边形 EFGH
的面积为（ ）

A. 5
2
B．5 C．4 D．8

9. 如图， eO 的直径 AB = 4 ，C 为 »AB 中点，点 D 在弧 BC 上， B»D = 1 B»C ，点 P 是 AB 上的一个动点，
3

则△PCD 周长的最小值是（ ）

A． 2 + B． 2 + 2 C． 3 + D． 4 + 4

7
3
7
3
10. 在平面直角坐标系中，两点 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) 在抛物线 y = ax2 - 2ax(a > 0) ，则下列结论中正确的是
（ ）
A．当 x1 < 0 且 y1 × y2 < 0 时，则0 < x2 < 2
B．当 x1 < x2 < 1 时，则 y1 < y2
C．当 x1 < 0 且 y1 × y2 > 0时，则0 < x2 < 2
D．当 x1 > x2 > 1时，则 y1 < y2

二、填空题
11. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O．若Ð1 = 36° ，则Ð2 的度数为 ° ．

12. 如图，在V ABC 中，点 D ， E 分别在 AB ， AC 上， DE ∥ BC ，若 DE = 1 ，则 SV ADE = ．

13. 要使代数式


x +1 有意义，则 x 的取值范围是 ．
x - 3
BC 3
SV ABC

14. 如图，在Rt△ABC 中，ÐACB = 90° ， AD 平分ÐCAB ，已知cosÐCAD = 12 ， AB = 26 ，则点 B 到 AD
13

的距离为 ．

15. 若抛物线 y = x2 - 6mx + 6m2 + 5m + 3 的顶点在直线 y = x + 2 上，则 m 的值为 ．
16. 已知eO 的半径为6 ，eO 所在平面内有一动点 P ，过点 P 可以引eO 的两条切线 PA ， PB ，切点分别为A ，B ．点 P 与圆心O 的距离为d ，则d 的取值范围是 ；若过点O 作OC ∥ PA 交直线 PB 于点C（点C 不与点 B 重合），线段OC 与eO 交于点 D ．设 PA = x ， CD = y ，则 y 关于 x 的函数解析式为 ．

三、解答题
ì2x ³ 1
î
17. 解不等式组í4x - 3 < x + 9 ，并在数轴上表示解集．

18. 如图， BA = BE ， Ð1 = Ð2 ， BC = BD ．求证： △ABC≌△EBD ．

19. 求代数式
2m2 + 4m × m2 - 4m + 4

的值，其中m = -1．

3
m - 2 m

20. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：
选手
内容
能力
效果
甲
98
84
88
乙
88
85
97
(1) 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
(2) 如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4 : 3 : 3 的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
(3) 如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．

21．如图，曲线G : y = 2 (x > 0) 过点 P(4, t)．
x

(1) 求 t 的值；
(2) 直线l : y = -x + b 也经过点 P，求 l 与 y 轴交点的坐标，并在图中画出直线 l；
(3) 在（2）的条件下，若在 l 与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线 G 上的概率．

22. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进 行某种水果采摘．
(1) 若用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30% ．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含 a 的代数式表示）
(2) 若要采摘 4000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，
已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的 5 倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．

23. 宽与长的比是 5 -1 （约为0.618 ）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片 ABCD ，长
2
5
AD = + 1 ．如图 1，折叠纸片 ABCD ，点 B 落在 AD 上的点 E 处，折痕为 AF ，连接 EF ，然后将纸片展开．
(1) 求 AB 的长；
(2) 求证：四边形CDEF 是黄金矩形；
(3) 如图 2，点 G 为 AE 的中点，连接 FG ，折叠纸片 ABCD ，点 B 落在 FG 上的点 H 处，折痕为 FP ，过点
P 作 PQ ^ EF 于点 Q．四边形 BFQP 是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．

24. 某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组 考察了如图 1 所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．

发现问题确定目标

涉水线设置

限高架设置

数学抽象绘制图形

隧道及斜坡的侧面示意图，可近似 如图 2 所示．

图 3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分 ACB 和矩形 ADEB 的三边构成．

信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为 0.27 米时，
（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必 须保证车辆顶部与隧道顶部 ACB 在竖直方向的空隙不小于 0.3 米．

实地考察数据采集
斜坡的坡角a为10° ，并查得：
sin10° » 0.174 ， cos10° » 0.985 ， tan10° » 0.176 ．

隧道的最高点 C 到地面 DE 距离为 5.4 米，两侧墙面高AD = BE = 3 米，地面跨度 DE = 10 米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米．
问题解决：
(1) 如图 2，求涉水线离坡底的距离 MN （精确到 0.01 米）；
(2) 在图 3 中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 ACB 的解析式；
(3) 限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”（即最大安全限高），求 h 的值（精确到0.1 米）．

25. 如图 1， AC = 4 ， O 为 AC 中点，点 B 在 AC 上方，连接 AB ， BC ．

(1) 尺规作图：作点 B 关于点O 的对称点 D （保留作图痕迹，不写作法），连接 AD ， DC ，并证明：四边形
ABCD 为平行四边形；
(2) 如图 2，延长 AC 至点 F ，使得CF = AC ，当点 B 在直线 AC 的上方运动，直线 AC 的上方有异于点 B 的动点 E ，连接 EA ， EB ， EC ， EF ，若ÐAEC = 45° ，且△ABC ∽△FCE ．
①求证： △ABC∽△CBE ；
② CB 的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

2025 年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
C
D
C
B
B
A

1．A
【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各 选项逐一分析即可．
2
【详解】解：选项 A： -
2
2
2
是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此- 也是无理数．负号表明其为负数，故-
是负无理数． 选项 B： -1
-1是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项 C： 0
0 是整数，属于有理数，且非负数． 选项 D： 3
3 是正整数，属于有理数，且非负数．
综上，只有选项 A 同时满足负数和无理数的条件， 故选 A．
2．B
【分析】本题考查的是点，线，面，体之间的关系，圆锥的认识，根据面动成体结合圆锥的特点可得答案．
【详解】解： Rt△ABC 绕直角边 AC 所在的直线旋转一周后所得到的几何体是一个圆锥． 故 B 选项正确．
故选 B 3．D
【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性．

【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故a2 × a3 = a2+3 = a5 ，但选项结果为a15 ，错误．
5
B. 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故(-2ab)3 = (-2)3 × a3 × b3 = -8a3b3 ，但选项结果为8a3b3 ，错误．

4
9 - 4
a
a
a
C. 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如 a = 9 ，b = 4 时， 9 - = 3 - 2 = 1 ，而错误．
= ¹ 1，

a
D. 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故2 + 5
综上，正确答案为 D． 故选：D．
4．C
= (2 + 5)
= 7 ，正确．

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程 x2 - x + k 2 + 2 = 0 ，其判别式为：

D = (-1)2 - 4 ´1´(k 2 + 2) =1 - 4( k 2 + 2)
=1 - 4k 2 -8 = -4k 2 - 7

由于 k 2 ³ 0 ，则-4k 2 £ 0 ，因此-4k 2 - 7 £ -7 < 0 ． 故判别式Δ 恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可．
【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数 量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势；
∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C．
6．D
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的 关键．
先求出直线 y = x 平移后的解析式，再根据直线与线段 AB 有交点，分别求出直线经过点 A 和点 B 时 d 的值， 进而确定 d 的取值范围，据此进行分析，即可作答．

【详解】解：依题意，将直线 y = x 向上平移 d 个单位长度后得 y = x + d
∵点 A(-3,1)，点 B(-1,1) ，且直线 y = x 向上平移 d 个单位长度后与线段 AB 有交点，
∴把 A(-3,1) 代入得1 = -3 + d ，解得d = 4 ； 把 B(-1,1) 代入得1 = -1+ d ，解得d = 2 ； 则2 £ d £ 4 ，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出 k 的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．
【详解】解：确定 k 的符号：
由题设条件 k = -k 且k ¹ 0 ，根据绝对值的非负性，右边-k ³ 0 ，即k £ 0 ．又因k ¹ 0 ，故k 为负数．
∵反比例函数 y = k 的图象位置由 k 的符号决定：
x
当k > 0 时，图象位于第一、三象限； 当k < 0 时，图象位于第二、四象限． 因k 为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项 C．
故选：C 8．B
【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得 EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG ，
BD = 2EF，AC = 2EH ，证明四边形 EFGH 是矩形，进而得菱形 ABCD 的面积= 1 AC × BD = 2EF × EH ．四
2

边形 EFGH 面积是 EF ´ EH 故可得结论．
【详解】解：连接 AC、BD 交于 O，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴ AC ^BD ，
∵点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点，
∴ EH∥BD，FG∥BD ， EF∥AC，HG∥AC，BD = 2EF，AC = 2EH ，
∴ EH∥FG，EF∥HG ，
∴四边形 EFGH 是平行四边形，
∵ AC ^BD ，
∴ ÐAOB = 90° ，
∴ ÐBAO + ÐABO = 90° ，
∵ ÐAEH = ÐABO，ÐBEF = ÐEAO ，
∴ ÐAEH + ÐBEF = 90° ，
∴ ÐHEF = 90° ，
∴四边形 EFGH 是矩形，
∴菱形 ABCD 的面积= 1 AC × BD = 2EF × EH ，
2

∴ 2EF × EH = 10 ，
∴ EF × EH = 5 ，
∴四边形 EFGH 的面积为 5， 故选：B．
9．B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质 内容是解题的关键．先作点C 关于 AB 的对称点C¢ ，连接CC¢,OD,C¢D,C¢P ，交 AB 于点 P¢ ，因为eO 的
直径 AB = 4 ，C 为 »AB 中点，得CC¢ = AB = 4 ，再结合 B»D = 1 B»C ，得ÐCOD = 60° ，再证明△COD 是等
3

CC¢2 - CD2
边三角形，运用勾股定理列式计算得 DC¢ =
即可作答．
= 2 3 ，则△PCD 周长= CD + PD + CP ³ 2 + C¢D ，

【详解】解：作点C 关于 AB 的对称点C¢ ，连接CC¢, OD, C¢D, C¢P ，记C¢D 交 AB 于点 P¢ ，如图所示：

∴ CP = C¢P
∵ eO 的直径 AB = 4 ，C 为 »AB 中点，
∴点O 在C ¢C 上， OC = OD = 1 ´ 4 = 2 ， ÐCOB = 90°，
2

∴ CC¢ = AB = 4 ，
∵ B»D = 1 B»C ，
3
∴ ÐCOD = æ1 - 1 ö ´90° = 60°，
ç 3 ÷
è ø
∵ CO = OD ，
则△COD 是等边三角形，
∴ CD = OC = 2 ，
∵ CC¢ 是直径，
∴ ÐCDC¢ = 90°
CC¢2 - CD2
16 - 4
∴ DC¢ = = = 2 3 ，
3
则△PCD 周长= CD + PD + CP = 2 + PD + C¢P ³ 2 + P¢D + C¢P¢ = 2 + C¢D = 2 + 2 ，
∴△PCD 周长的最小值是2 + 2 3 ． 故选：B．
10．A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线 y = ax2 - 2ax(a > 0) 开口向上，顶点为(1, -a) ，与 x 轴交于(0, 0) 和(2, 0) ，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【详解】解：∵ y = ax2 - 2ax(a > 0)
∴抛物线的开口向上，
则对称轴为直线 x = - -2a = 1 ，
2a

把 x = 1 代入 y = ax2 - 2ax ，得 y = a - 2a = -a ，
∴顶点为(1, -a) ，
∵两点 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) 在抛物线 y = ax2 - 2ax(a > 0) ，
∴当 x1 < 0 且 y1 × y2 < 0 时， y1 > 0 （因 x < 0 时抛物线在 x 轴上方），故 y2 < 0 ，
此时0 < x2 < 2
故 A 选项的结论正确；
当 x1 < x2 < 1 时，抛物线在 x < 1时递减， 故 x2 越大， y2 越小，
即 y1 > y2 ，
故 B 选项的结论错误；
当 x1 < 0 且 y1 × y2 > 0时， y2 > 0 ， 此时 x2 应满足 x2 < 0 或 x2 > 2 ， 故 C 选项的结论错误；
当 x1 > x2 > 1时，抛物线在 x > 1 时递增， 故x1 越大， y1 越大，
即 y1 > y2 ，
故 D 选项的结论错误； 故选：A
11．144
【分析】本题考查了邻补角互补，根据Ð1, Ð2 是互为邻补角，得Ð2 = 180° - Ð1 ，再代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵直线 AB ， CD 相交于点 O，且Ð1 = 36° ，
∴ Ð2 = 180° - Ð1 = 180° - 36° = 144° ， 故答案为：144
12． 1
9

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ DE ∥ BC
∴△ADE ∽△ABC ，

S æ DE ö2 æ 1 ö2 1

∴ V ADE = ç ÷
= ç ÷ =

SV ABC
è BC ø è 3 ø 9
1

故答案为： 9 ．
13． x ³ -1且 x ¹ 3
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出 x +1 ³ 0 且 x - 3 ¹ 0 ，即可求解．
【详解】解：依题意， x +1 ³ 0 且 x - 3 ¹ 0 ， 解得： x ³ -1且 x ¹ 3 ，
故答案为： x ³ -1且 x ¹ 3 ．
14．10
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解sin Ð CAD = CD = 5 ，
AD 13

过点 B ，作 BQ ^ AD ，交 AD 于点Q ，结合 BQ = sin ÐBAQ = sin ÐCAD =
AB

【详解】解：∵ cosÐCAD = 12 ， ÐACB = 90° ，
13
5 ，从而可得答案．
13

∴ AC = 12 ，
AD 13

设 AC = 12x ，则 AD = 13x ，

AD2 - AC2
∴ CD =
∴ sin Ð CAD = CD =
AD
= 5x ，
5 ，
13

过点 B ，作 BQ ^ AD ，交 AD 于点Q ，

∵AD 平分ÐCAB ，

∴ ÐCAD = ÐBAD ，
∴ BQ = sin ÐBAQ = sin ÐCAD = 5 ，
AB 13
∵ AB = 26 ，
∴ BQ = 10 ，
∴点 B 到 AD 的距离为10 ； 故答案为：10．
15．1或- 1
3

【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为(3m,- 3m2 + 5m + 3) ，再把(3m,- 3m2 + 5m + 3) 代入 y = x + 2 ， 得出3m2 - 2m -1 = 0 ，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵ y = x2 - 6mx + 6m2 + 5m + 3 ，
∴对称轴为直线 x = - -6m = 3m ，
2´1
把 x = 3m 代入 y = x2 - 6mx + 6m2 + 5m + 3 ， 得 y = -3m2 + 5m + 3 ，
即顶点坐标为(3m,- 3m2 + 5m + 3) ，
∵抛物线的顶点在直线 y = x + 2 上，
∴ -3m2 + 5m + 3 = 3m + 2 ， 整理得3m2 - 2m -1 = 0 ，
则D = (-2)2 - 4´ 3´ (-1)= 16 ，

∴ m = 2 ±
16 = 2 ± 4 = 1± 2 ，

2 ´ 3 6 3
∴ m = 1,m = - 1 ,

1 2 3

故答案为：1或- 1 ．
3


x2 -12x + 36

16．
d > 6 y =
2x

【分析】由题意可得点 P 在eO 外，从而得出d > 6 ，再由切线长定理可得 PA = PB = x ， OB ^ PB ，

ÐOPA = ÐOPB ，又OC ∥ PA ，则ÐOPA = ÐPOC ，所以ÐOPC = ÐPOC ，可得 PC = OC ，故有
PC = OC = 6 + y ， BC = x - 6 - y ，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，

∵过点 P 可以引eO 的两条切线 PA ， PB ，
∴点 P 在eO 外，
∴ d > 6 ，
∵ PA ， PB 是eO 的两条切线，
∴ PA = PB = x ， OB ^ PB ， ÐOPA = ÐOPB ，
∴ ÐOBP = 90° ，
∵ OC ∥ PA ，
∴ ÐOPA = ÐPOC ，
∴ ÐOPC = ÐPOC ，
∴ PC = OC ，
∵ CD = y ， eO 的半径为6 ，
∴ PC = OC = 6 + y ，
∴ BC = PB - PC = x - 6 - y ，
在Rt△OBC 中， OC2 = OB2 + BC2 ，
∴ (6 + y )2 = 62 + ( x - 6 - y )2 ，
，
x2 -12x + 36
∴ y =
2x

x -12x + 36
2
故答案为： d > 6 ， y = ．
2x
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行 线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．

17. 1 £ x < 4 ，画图见解析
2
【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空 心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．
ì2x ³ 1①
î
【详解】解： í4x - 3 < x + 9② ，
由①得： x ³ 1 ，
2
由②得： x < 4 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

则不等式组解集为 1 £ x < 4 ．
2

18. 见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明ÐABC = ÐEBD ，进而根据SAS 即可证明△ABC≌△EBD ．
【详解】证明：∵ Ð1 = Ð2 ，
∴ Ð1 + ÐEBC = Ð2 + ÐEBC ，即ÐABC = ÐEBD ， 在V ABC 和△EBD 中，
ìBA = BE
í
ïÐABC = ÐEBD
î
ïBC = BD
∴△ABC≌△EBD (SAS)
3
19． -4
3
【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简， 然后把m = -1代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： 2m2 + 4m × m2 - 4m + 4

m - 2 m
= ×
2m (m + 2) (m - 2)2

m - 2 m
= 2 (m + 2)(m - 2)

= 2m2 - 8 ，
3
当m = -1时，
3
原式= 2´( -1)2 - 8
= 2 ´(4 - 2 3 ) - 8
3
= 8 - 4 - 8
= -4 3 ．

20．(1)甲、乙的平均成绩均为 90 分，不能以此确定两人的名次；
(2) 甲排名第一，乙排名第二；
(3) 设计三项成绩的比为5 : 2 : 3 ，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）
【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用算术平均数即可求解；
（ 2 ）利用加权平均数即可求解；
（ 3 ）改变权重即可．
【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次，
甲的平均成绩： 98 + 84 + 88 = 90 （分），
3
乙的平均成绩： 88 + 85 + 97 = 90 （分），
3

∴ x甲 = x乙 ，
∴不能以此确定两人的名次；
（2）解：甲的平均成绩： 98 ´ 4 + 84 ´ 3 + 88 ´ 3 = 90.8 （分），
4 + 3 + 3

乙的平均成绩： 88 ´ 4 + 85 ´ 3 + 97 ´ 3 = 89.8 （分），
4 + 3 + 3

∴ x甲 > x乙 ，
∴甲排名第一，乙排名第二；
（3）解：设计三项成绩的比为5 : 2 : 3 ，理由，
内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）

21．(1) t = 1
2
(2) (0, 4.5) ，见详解
(3) 1
3
【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．
（1） 直接把 P(4, t) 代入 y = 2 进行计算，得t = 1 ；
x 2
（2） 先得出 P(4, 1 ) ，再代入直线l : y = -x + b ，求出 y = -x + 4.5 ，即可求出 l 与 y 轴交点的坐标，再由两
2
点确定一条直线画出直线l 的函数图象；
（3）先得出格点共有6 个，分别是(1, 3), (1, 2), (1,1), (2,1), (2, 2), (3,1), 再分析得出格点(1, 2), (2,1) 在曲线 G
上，即有两个格点在曲线 G 上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵曲线G : y = 2 (x > 0) 过点 P(4, t)．
x
；
∴ t = 2 = 1
4 2

（2）解：由（1）得t = 1 ，
2
1
故 P(4, 2 ) ，
∵直线l : y = -x + b 也经过点 P，
∴把 P(4, 1 ) 代入 y = - x + b ，得 1 = -4 + b ，
2 2
解得b = 4.5 ，
∴ y = -x + 4.5 ；
令 x = 0 ，则 y = -0 + 4.5 = 4.5 ，
∴l 与 y 轴交点的坐标为(0, 4.5) ； 直线 l 的函数图象，如图所示；

（3） 解：依题意，在 l 与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有6 个，分别是
(1, 3), (1, 2), (1,1), (2,1), (2, 2), (3,1)，
∵曲线G : y = 2 (x > 0) ，
x
则1´ 3 = 3 ¹ 2,1´ 2 = 2,1´1 = 1 ¹ 2,2´1 = 2,2´ 2 = 4 ¹ 2,3´1 = 3 ¹ 2 ，
∴格点(1, 2), (2,1) 在曲线 G 上，即有两个格点在曲线 G 上，
即该格点在曲线 G 上的概率= 2 = 1 ．
6 3

22．(1) 0.7a 元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
（1） 根据人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30% ，再列代数式即可；
（2） 设一个工人每天采摘该种水果 x 千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x 千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30% ．
∴用智能机器人采换的成本是(1- 30%)a = 0.7a （元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果 x 千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x 千克；
∴ 4000 = 4000 -1，
5x 4x

解得： x = 200 ，

经检验 x = 200 是原方程的解且符合题意；
∴ 5x = 1000 （千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 千克．
23．(1)2
(2) 证明见解析
(3) 四边形 BPQF 是黄金矩形．证明见解析

【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得： AB =
AD
5 -1 ，再进一步求解即可；
2

5
（2） 先证明四边形 ABFE 是正方形；可得 AB = BF = EF = AE = 2 ， DE = CF = -1 ，证明四边形CFED 是矩形，从而可得答案；
12 + 22
5
（3） 先证四边形 BPQF 是矩形，然后求解 FG = = ，由对折可得： FH = FB = 2 ，设 BP = x ，则

AP = 2 - x ，由面积可得： 1 创1
(2 - x)+ 1 � 2x
1 � 5x
1� (1 2)

5
2 ，可得： x = -1 ，再进一步可得

结论．
2 2 2 2

5
【详解】（1）解：∵ AD = + 1 ，矩形 ABCD 是黄金矩形，

∴ AB =
AD

∴ AB =
5 -1 ，
2

5
(
-1´
2

5 + 1)= 2 ；

（2） 证明：∵折叠黄金矩形纸片 ABCD ，点 B 落在 AD 上的点 E 处，
∴ AB = AE ， ÐB = ÐAEF ， 又∵四边形 ABCD 是矩形，
5
∴ ÐBAE = ÐB = ÐC = ÐD = 90°， AB = CD ， AD = BC = + 1，
∴ ÐBAE = ÐB = ÐAEF = 90° ，
∴四边形 ABFE 是矩形，
∵ AB = AE ，
∴四边形 ABFE 是正方形；
∴ AB = BF = EF = AE ， 由（1）可知， AB = 2 ，

∴ AB = BF = EF = AE = 2 ，
5
5
∴ DE = CF = +1- 2 = -1，
∵ ÐC = ÐD = ÐDEF = 90° ，
∴四边形CFED 是矩形，
∴ EF = CD = 2 ，

∴ DE =
FE
5 -1 ，
2

∴四边形CDEF 是黄金矩形．
（3） 解：四边形 BPQF 是黄金矩形，证明如下：
∵ PQ ^ EF ，四边形 ABFE 是正方形，
∴Ð B = Ð BFE = Ð PQF = 90°，
∴四边形 BFQP 是矩形；
由（2）可知， AB = BF = AE = EF = 2 ，
∵ G 为 AE 的中点，
∴ AG = EG = 1，

EG2 + EF 2
∴ FG =
= = 5 ，

12 + 22
如图，连接 PG ，由对折可得： FH = FB = 2 ， BP = PH ， ÐPHF = ÐB = 90°， 设 BP = PH = x ，则 AP = 2 - x ，
∵ SV APG + SV PBF + SV PGF = S梯形ABFG
∴ 1 创1 (2 - x)+ 1 � 2x 1 � 5x 1 � (1 2) 2 ，
2 2 2 2
5
解得： x = -1 ，

∴ BP =

∴ BP =
BF
5 -1 ，

5 -1 ，
2

∴四边形 BFQP 是黄金矩形．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键．
24．(1) MN = 1.55 米
(2) y = - 12 x2
125
(3) 3.5 米

【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1） 认真研读题干，过点 M 作 MP ^l ，代入数值得sin10° = MP » 0.174 ，进行计算，即可作答．
MN
（2） 先以点C 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线 ACB 的解析式为 y = ax2 (a < 0) ，再把 B (5, -2.4)

代入进行计算，得 y = - 12
125
x2 ，即可作答．

（3）认真研读题干，得出10 ¸ 5 -1 = 4 ，再算出当 x = 4 时，y = -1.536 ，则OG = 1.536 ，GH = CH - OG = 3.864 ，即可得出 h = GH - 0.3 = 3.564 » 3.5 （米），即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点 M 作 MP ^l ，

∵斜坡的坡角a为10° ，隧道内积水的水深为 0.27 米，
∴ ÐMNP = 10°,MP = 0.27 ，
∵ MP ^l ， sin10° » 0.174 ，
MP
在Rt△MNP 中， s