2025-2026学年福建省南安市国光中学高二上数学期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年福建省南安市国光中学高二上数学期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A.1 B.
C.3 D.
2．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）
①②③
A.0 B.1
C.2 D.3
3． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）
A.108 B.36
C.50 D.86
5．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）
A. B.
C. D.
6．函数，则的值为（）
A B.
C. D.
7．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
8．已知空间向量，且与垂直，则等于（）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
9．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（ ）
A.2 B.3
C. D.
10．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）
A. B.
C. D.
12．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与直线垂直，则实数的值为___________.
14．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______
15．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________

16．九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分） 年月初，浙江杭州、宁波、绍兴三地相继爆发新冠肺炎疫情．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取件口罩进行检测，其结果如表：
测试分数

数量

（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
（2）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率
18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.
19．（12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.
20．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
21．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.
22．（10分）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.
【详解】由，可知，则有，解之得
故选：D
2、C
【解析】根据等差数列的定义判断
【详解】设的公差为，
则，是等差数列，
，是常数列，也是等差数列，
若，则不是等差数列，
故选：C
3、B
【解析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.
【详解】∵，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4、C
【解析】运用分类计数原理，结合组合数定义进行求解即可.
【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，
所以分发烤火炉的方法总数为：，
故选：C
【点睛】关键点睛：运用分类计数原理是解题的关键.
5、A
【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.
【详解】如图示：连接OF,

因为P为EF中点，，F为BC的中点，
则

，
故选：A
6、B
【解析】求出函数的导数，代入求值即可.
【详解】函数,故，
所以，
故选：B
7、A
【解析】解方程即得解.
【详解】由题得.
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8、B
【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.
【详解】∵
∴
∴，解得，
故选：B.
9、A
【解析】设，则，解方程可得结果.
【详解】设，则且，
所以，所以，
所以，所以或（舍）.
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：设是解题关键.
10、A
【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.
【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，

则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率
故选：A.
11、B
【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前项和公式计算，
【详解】由题意，新数列为，所以，，
前项和为
故选：B.
12、A
【解析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由直线垂直的充要条件列式计算即可得答案.
【详解】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得
故答案为：
14、
【解析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.
【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
15、
【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.
【详解】在中，，
，，
，
，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.
故答案为：.
【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.
16、684
【解析】利用累加法可求得的值.
【详解】当且时，，
所以，
.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题意知分数小于的产品为不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.
（2）先利用分层抽样确定抽取的件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为件和件，再利用古典概型把所有基本事件种都列举出来，在判断件口罩全是合格品的事件有种情况，即可得到答案.
【小问1详解】
在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件）
所以口罩为不合格品的频率为，
根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为
【小问2详解】
由题意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件
设件合格口罩记为，件不合格口罩记为
而从件口罩中抽取件，共有 共种情况，
这件口罩全是合格品的事件有共种情况
故件口罩全是合格品的概率为
18、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.
（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为，
圆C的圆心在直线上，.
则圆C的方程为，
圆C过点，则，解得：则，
圆C的圆心坐标为.
则圆C的方程为；
【小问2详解】

圆心C到直线的距离.
则，解得或
19、（1）
（2）所有项的系数和为，二项式系数和为
【解析】(1)写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出m的值；
(2)令x＝1即可求所有展开项系数之和，二项式系数之和为2m.
【小问1详解】
展开式的通项为：，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
∴，即.
【小问2详解】
令可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【小问1详解】
是等差数列，公差
；
即；
【小问2详解】
，则
由（1）可知前五项为正，第六项开始为负

.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.
（2）首先联立得到，再求的长度即可.
【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，
得，
极坐标方程为.
（2）联立方程组，
消去得，
设点A，B对应的极径分别为，，则，，
所以.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决；
（2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦，再去求其取值范围即可.
【小问1详解】
由题意得.记左焦点为，
，则，，
解得.由椭圆定义得：，
则，所以椭圆C的方程为：.
【小问2详解】
①当直线l的斜率不存在时，.
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为.
联立椭圆与直线的方程
（由于点在椭圆内，∴成立），
且，，

令，则，，，
由得，
综上所述，弦的取值范围为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形