2025-2026学年成都市田家炳中学高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年成都市田家炳中学高二数学第一学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（ ）
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
4．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）
A. B.
C.4 D.
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（ ）

A.128 B.64
C.16 D.32
6．某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）
A.20 B.40
C.60 D.80
7．设为实数，则曲线：不可能是（ ）
A.抛物线 B.双曲线
C.圆 D.椭圆
8．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）
A.40 B.30
C.20 D.12
9．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
10． “﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
11．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
14．若椭圆的一个焦点为，则p的值为______
15．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
16．若向量满足，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.

（1）证明：无论取何值，总有；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知为数列的前项和，，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计月均用电量的众数；
（2）求a的值；
（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.
20．（12分）已知空间三点.
（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;
（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.
21．（12分）已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若为假命题，求实数m的取值范围
22．（10分）已知点，.
（1）求以为直径的圆的方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义进行判定.
【详解】只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.
故选：B.
2、B
【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.
【详解】设等差数列的公差为，
则解得：，
所以.
故选：B.
3、A
【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.
【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，
因直线与圆相切，从而得，即，解得或，
所以c的值为8或-2.
故选：A
4、A
【解析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.
【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2、高为的平行四边形，所以面积为.

故选：A.
5、C
【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.
【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：
1、成立，则；
2、成立，则；
3、成立，则；
4、成立，则；
5、不成立，输出；
故选：C
6、C
【解析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.
【详解】依题意，三年级学生的总人数为，
从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为，
所以应抽取的三年级学生的人数为.
故选：C
7、A
【解析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.
【详解】解：对A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；
对B：当时，曲线C为双曲线，故选项B错误；
对C：当时，曲线C为圆，故选项C错误；
对D：当且时，曲线C为椭圆，故选项D错误；
故选：A.
8、B
【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.
【详解】由总数为1200，样本容量为40，
所以抽样距为：
故选：B
【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.
9、B
【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.
【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.
所以，为假，故A错误；
为真，故B正确；
为假，故C错误；
为假，故D错误.
故选：B
10、B
【解析】求出方程表示椭圆的充要条件是且,由此可得答案.
【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是,解得且,
所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉,本题属于基础题.
11、A
【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可
【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以，
因为,所以平面，
因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，
所以，
因为点P到底面的距离为3，所以，
所以，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为
，
故选：A

12、C
【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.
【详解】圆心到直线的距离，弦长为.
.
当，即时，取得最大值.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 [﹣，0]
【解析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可
【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，
则•的取值范围是[，0]
故答案为：[，0]

【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目
14、3
【解析】利用椭圆标准方程概念求解
【详解】因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以
故答案：3
15、
【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.
16、
【解析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可得出结论；
（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于的方程，即可得出结论.
【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，
所以，，则，
因此，无论取何值，总有；
（2），设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得，，此方程无解，
因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；
（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.
小问1详解】
由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，
若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；
若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；
若选③：由，即，所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，所以数列等差数列，所以.
19、（1）175（2）0.004
（3）该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析
【解析】（1）在区间对应的小矩形最高，由此能求出众数；
（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出值；
（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.
【小问1详解】
由题知，月均用电量在区间内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.
【小问2详解】
由题知：，解得
则的值为0.004.
【小问3详解】
平均数的估计值为：
，
则月均用电量的平均数的估计值为，
又∵
∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.
20、（1）周长为，面积为7.
（2）或.
【解析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角
公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；
（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件
所有的值即可求解.
【小问1详解】
由题中条件可知，，,
，.
所以以为邻边的平行四边形的周长为.
因为，
因为，所以.
所以.
故以以为邻边的平行四边形的面积为：
.
【小问2详解】
设，则，，
因为，且分别与垂直，得
，解得或
所以向量的坐标为或.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意列不等式组求解
（2）判断的真假性后分别求解
【小问1详解】
由题意得，解得且
故m的取值范围是
【小问2详解】
∵为假命题，∴p和q都是真命题，
对于命题q，由题意得：恒成立，
∴，∴，
∴，解得
故m的取值范围是
22、 (1) .(2)或
【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；
（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线x﹣my+1＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案
【详解】（1）根据题意，点，，则线段的中点为，即的坐标为；
圆是以线段为直径的圆，则其半径，
圆的方程为.
（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，
则点到直线的距离，
又由，则有，变形可得：，解可得或
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题