材料力学第七章.ppt

弯曲应力,7 弯曲应力,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,F,Ay,F,S,M,均匀分布,线形分布,一、纯弯曲,梁段,CD,上，只有弯矩，没有剪力,梁段,AC,和,BD,上，既有弯矩，又有剪力,7-1,梁弯曲时的正应力,纯弯曲,横力弯曲,F,s,M,Fa,Fa,F,F,1,、变形几何关系,2,、物理关系,3,、静力学关系,纯弯曲的内力,剪力,F,s,=0,横截面上没有切应力,只有正应力。,弯曲正应力的,分布规律,和,计算公式,二、弯曲时的正应力,变形与应变,观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况,.,弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线,mm,和,nn,间的纵向直线段,aa,和,bb,，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段,aa,缩短，而靠近梁的底面的线段,bb,则伸长；,.,相邻横向线,mm,和,nn,，,在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线,aa,和,bb,保持正交。,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线,mm,和,nn,是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论,(,假设,),：,平面假设,梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面,(,纵向平面,),的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必,有一层纵向线只弯曲而无长度改变的,中性层,(,图,f),，而,中性层与横截面的交线,就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴,中性轴,(,neutral axis,),。,（,f),线应变的变化规律,与纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看：,点离开中性轴越远，,该点的线应变越大。,1,、变形几何关系,2,、物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a,、与点到中性轴的距离成正比；,c,、正弯矩作用下，,上压下拉；,当,5,的细长梁，,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，,误差,2%,满足工程中所需要的精度。,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式,1,、纯弯曲或细长梁的横力弯曲,;,2,、横截面惯性积,I,YZ,=0;,3,、弹性变形阶段,;,推导弯曲正应力计算公式的方法总结,（1）理想模型法：,纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）,（2）,“,实验,观察,假设,”,：,梁弯曲假设,（3）,外力,内力,变形几何关系,物理关系,静力学关系,（4）三关系法,积分,应力合成内力,横力弯曲,应力法,（5）数学方法,注意,（,1,）计算正应力时，必须清楚所求的是,哪个截面,上,的应力，,（,3,）特别注意正应力,沿高度呈线性分布,；,从而确定该截面上的,弯矩,及该截面对中性轴的,惯性矩；,（,2,）必须清楚所求的是该截面上,哪一点,的正应力，,（,4,）,中性轴,上正应力,为零,，,并确定该,点到中性轴的距离,，,而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。,以及该点处,应力的符号,（,6,）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。,（,5,）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压,;,注意,正应力的正 负号（拉或压）可根据,弯矩的正负,及,梁的变形状态,来 确定。,作弯矩图，寻找最大弯矩的截面,分析：,非对称截面，,例,1 T,型截面铸铁梁，截面尺寸如图。,求最大拉应力、最大压应力。,计算最大拉应力、最大压应力,z,c,52,88,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,要寻找中性轴位置；,（,2,）计算应力：,（,1,）求支反力，作弯矩图,B,截面应力分布,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,F,A,F,B,F,A,=2.5KN,2.5KNm,4KNm,M,应用公式,z,c,52,88,（,3,）结论,C,截面应力计算,2.5KNm,4KNm,M,9KN,1m,1m,1m,A,C,B,F,A,F,B,4KN,C,截面应力分布,应用公式,z,c,52,88,30,z,y,180,120,K,1,、,C,截面上,K,点正应力,2,、,C,截面上最大正应力,3,、全梁上最大正应力,4,、已知,E,=200GPa,，,C,截面的曲率半径,例,2,：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示,1m,3m,q=60KN/m,A,C,B,1,、截面几何性质计算,确定形心主轴的位置,z,确定中性轴的位置,180,120,确定形心的位置,F,AY,F,BY,q=60KN/m,1m,3m,A,C,B,2.,求支反力,（压应力）,3,、,C,截面上,K,点正应力,30,z,y,180,120,K,4,、,C,截面上最大正应力,弯矩,公式,M,x,F,S,x,作内力图,F,AY,F,BY,q=60KN/m,1m,3m,A,C,B,90kN,90kN,5,、全梁上最大正应力,危险截面,公式,F,AY,F,BY,q=60KN/m,1m,3m,A,C,B,6,、已知,E,=200GPa,，,C,截面的曲率半径,弯曲正应力的分布规律,危险点：,距离中性轴最远处；,分别发生,最大拉应力,与,最大压应力,；,7-2,梁弯曲时的正应力强度计算,M,1,、塑性材料,抗拉压强度相等,无论内力图如何,梁内最大应力,其强度条件为,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等,对称于中性轴,的截面；,此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。,因此：,强度条件可以表示为,无论截面形状如何，,a,但对于塑性材料，,b,2.离中性轴最远处。,要综合考虑弯矩,M,与截面形状,I,z,1.弯矩的绝对值最大的截面上；,塑性材料,c,、塑性材料制成的,变截面梁,总之，,梁内最大应力发生在：,3,.,强度条件为,2,、脆性材料,抗拉压强度不等。,内力图形状有关。,梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在,最大应力通常与截面形状，,通常将梁做成,T,形、倒,T,形等,关于,中性轴不对称,的截面。,离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。,由于脆性材料抗压不抗拉，,a,脆性材料的最大应力与截面形状有关,M,M,或者,脆性材料梁的危险截面与危险点,上压下拉,上拉下压,b,脆性材料的最大应力与内力图有关,危险截面只有一个。,危险截面处分别校核：,二个强度条件表达式,M,危险截面有二个；,每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；,脆性材料梁的危险截面与危险点,各危险截面处分别校核：,四个强度条件表达式,弯曲正应力强度计算的三个方面,1,、强度校核,2,、设计截面,3,、确定许可载荷,例,1,：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,材料的许用应力,分析,（2）,危险截面：,（3）,危险点,截面关于中性轴对称,弯矩 最大的截面,抗弯截面系数 最小的截面；,危险截面的最上、下边缘处。,（1）,轮轴为塑性材料,公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,M,Fa,Fb,Fb,B,截面，,C,截面,（3）,危险截面,（4）强度校核,B,截面：,C,截面：,（5）结论,M,Fa,Fb,Fb,轮轴满足强度条件,例,2,：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦,材料的许用应力,起重量,跨度,试选择工字钢的型号。,自重,分析,（,2,）确定危险截面,（,5,）计算,（,6,）计算 ，选择工字钢型号,（,3,）截面为关于中性轴对称,（1）简化为力学模型,（,4,）应力计算公式,F,F,F,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,M,FL/4,（3）危险截面,（,4,）强度计算,（,5,）选择工字钢型号,36c,工字钢,F=F,1,+F,2,例,3,：,T,型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,20,80,120,20,5,、作弯矩图，确定危险截面,6,、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1,、脆性材料，,2,、寻找形心,3,、确定中性轴位置；,4,、计算图形对中性轴的主惯性矩,危险截面与内力图有关,（2）求截面对中性轴,z,的惯性矩,（1）求截面形心,z,1,52,20,80,120,20,y,z,（,4,）确定危险截面,（,3,）求支反力，作弯矩图,B,截面应力强度计算,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,F,A,F,B,F,A,=2.5KN,2.5KNm,4KNm,M,应用公式,z,c,52,88,（,5,）结论,C,截面强度计算,应用公式,z,c,52,88,2.5KNm,4KNm,M,9KN,1m,1m,1m,A,C,B,F,A,F,B,4KN,满足强度条件,例,4,：一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面,的内外径之比 ，试选择截面直径,D,；,若外径,D,增加,一倍，比值,不变，则载荷,q,可增加到多大？,L=4m,A,B,q=0.5KN/m,3,、作弯矩图，确定危险截面；,分析：,对称截面；,1,、塑性材料，,2,、已知图形对中性轴的主惯性矩,5,、公式,4,、确定危险点，进行强度校核,L=4m,A,B,q=0.5KN/m,1,、求支座反力，并作弯矩图,F,A,F,B,F,A,=F,B,=ql/2,M,2,、确定危险截面,强度计算,若外径,D,增加一倍，,不变,例,5,：,已知 材料的 ，由,M,图知：,，试校核其强度。,16,28,14,4,8,单位：,cm,5,、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1,、塑性材料，,2,、寻找形心,3,、确定中性轴位置；,4,、计算图形对中性轴的主惯性矩,6,、公式,（,1,）确定中性轴的位置,（,2,）计算截面对形心主轴的惯性矩,16,28,14,4,8,单位：,cm,z,y,z,（,4,）正应力校核,所以结构安全。,问题：,若材料为铸铁，截面这样放置是否合理,？,28,z,z,7-4,梁弯曲时的剪应力,横力弯曲,横截面上内力,既有弯矩又有剪力；,横截面上应力,既有正应力又有切应力。,切应力,分布规律和计算公式,F,A,F,B,F,A,=F,B,=P,F,s,M,P,P,Pa,P,P,a,a,L,C,A,观察,AC,段内力,F,s,=P,=+,常量,+M,线性规律上升,距离中性轴为,y,的直线上点的切应力计算公式,、矩形截面梁切应力计算公式,各项的物理意义,1,、,F,s,欲求切应力的点所在截面的剪力；,2,、,I,z,欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；,3,、,b,欲求切应力的,点处截面的宽度,；,4,、,S,z,*,横截面上距离中性轴为,y,的,横线以外部分,的面积,A,1,对中性轴的静矩。,16,28,14,4,8,20,80,120,20,切应力分布规律,切应力沿截面高度按,抛物线,规律变化。,中性轴处,最大正应力所在的点,、工字形截面梁切应力沿高度的分布规律,max,计算公式,切应力危险点,中性轴处,最大切应力,腹板上的切应力呈抛物线变化；,腹板部分的切应力合力占总剪力的,9597%,。,工字形截面的翼缘,翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按,直线规律,变化；,翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。,并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流”。,T,形截面梁切应力,沿高度,的分布规律,计算公式,中性轴处,max,T,形截面梁切应力流,、圆形截面梁切应力的分布规律,（）、边缘上各点的切应力与圆周相切。,A,B,不能假设总切应力与剪力同向；,（）、同一高度各点的切应力汇交于一点。,中性轴处,max,（）、,竖直分量,沿截面宽度均匀分布；,圆形截面梁切应力,沿高度,的分布规律,计算公式,沿高度呈抛物线规律变化。,max,=2.0,F,s,A,、圆环截面的最大切应力,z,y,切应力的危险点,能否说：,“切应力的最大值一定发生在中性轴上”,？,当中性轴附近有尺寸突变时,最大切应力不发生在中性轴上；,当中性轴附近没有尺寸突变时,最大切应力,发生在中性轴,上；,切应力强度条件,对于等宽度截面，发生在中性轴上；,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题,：,（,1,）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应,力的强度条件是次要的。,对于宽度变化的截面，,不一定,发生在中性轴上。,一般情况下，,以正应力设计为主，,切应力校核为辅；,(2),对于,较粗短,的梁，当,集中力较大,时，,注意,(4),薄壁截面梁,时，也需要校核切应力。,截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。,(3),载荷离支座较近,时，,截面上的剪力较大；,(5),木梁顺纹,方向，抗剪能力较差,;,(6),工字形,截面梁，要进行切应力校核,;,（,7,）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，,该处的切应力为零；,切应力的最大值发生在中性轴上，,该处的正应力为零。,对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。,这些点的强度计算，应按,强度理论,进行计算。,注意,例题,1,：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1,m。,胶合面的许可切应力为0.34,MPa,，,木材的,=10,MPa,，,=1MPa，,求许可载荷,F,。,F,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,x,F,s,x,M,F,FL,F,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,x,F,s,x,M,F,FL,F,例,2,铸铁梁的截面为,T,字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ，。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,A,B,2m,1m,3m,P=20KN,C,D,q=10KN/m,200,30,200,30,200,30,200,30,(a),确定中性轴的位置,(c),最大静矩：,z,z,C,(b),计算图形对形心主轴的惯性矩,(1),平面图形几何性质计算,157.5,（,2,）绘剪力图、弯矩图,计算约,束反力：,A,B,2m,1m,3m,C,D,P=20KN,q=10KN/m,F,Ay,F,By,作内力图,F,s,M,10KN,10KN.m,20KN.m,20KN,10KN,（,3,）正应力强度计算,对于,A,截面：,z,P=20KN,q=10KN/m,F,Ay,F,By,F,s,10KN,20KN,10KN,M,10KN.m,20KN.m,200,30,z,C,157.5,（,3,）正应力强度计算,对于,D,截面：,z,P=20KN,q=10KN/m,F,Ay,F,By,F,s,10KN,20KN,10KN,M,10KN.m,20KN.m,200,30,z,C,157.5,正应力强度足够,。,结论,（,4,）切应力强度校核,在,A,截面左侧：,切应力强度足够,。,P=20KN,q=10KN/m,F,Ay,F,By,F,s,10KN,20KN,10KN,M,10KN.m,20KN.m,200,30,z,C,157.5,危险截面,计算公式,（,5,）若将梁的截面倒置,此时强度不足会导致破坏。,y,c,z,P=20KN,q=10KN/m,F,Ay,F,By,F,s,10KN,20KN,10KN,M,10KN.m,20KN.m,z,7-6,提高弯曲强度的措施,1,、合理布置支座,一、,降低,M,max,2,、合理布置载荷,降低,M,max,F,L/6,5FL/36,安装齿轮,靠近轴承一侧；,3,、集中力分散,降低,M,max,F,二、梁的合理截面,增大抗弯截面系数,截面面积几乎不变的情况下，,截面的大部分分布在,远离中性轴,的区域,1,、,合理设计截面,抗弯截面系数,W,Z,越大、横截面面积,A,越小，,截面越合理。,来衡量截面的经济性与合理性,合理截面,合理截面,伽利略,1638,年,关于两种新科学的对话和证明,“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，,所以在技术上得到广泛应用。,在自然界就更为普遍了，,这样的例子在,鸟类的骨骼,和各种,芦苇,中可以看到，,它们,既轻巧,而又,对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力,。“,矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,根据应力分布的规律：,解释,z,合理截面,合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。,对于塑性材料,宜设计成关于中性轴对称的截面,对于脆性材料,宜设计成关于中性轴,不对称,的截面,且使中性轴,靠近受拉,一侧。,2,、合理放置截面,竖放比横放更合理。,为降低重量，可在中性轴附近开孔。,三、等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,2,、,T,型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？,a,b,c,d,讨论,1,、梁发生平面弯曲时，横截面绕,旋转,A,：轴线；,B,：中性轴；,C,：横截面对称轴；,3,、,EA,均相同，哪一个截面承担的最大弯矩,M,最大？,a,b,c,d,4,、铸铁梁有四种截面形式，,C,为截面形心，,y,1,/y,2,=2,，最佳形状为：,。,2L/5,y,2,y,1,C,y,1,y,2,C,5,、,T,型截面铸铁梁，受主动力偶,M,作用，从强度的角度看，如何放置？阐述原因。,M,7,、弯曲时，梁的横截面中性轴过形心。对吗？,6,、从哪些方面考虑提高梁的承载力？,8,、梁在横力弯曲时，横截面上,。,A,：正应力不等于零，剪应力等于零；,B,：正应力等于零，剪应力不等于零；,C,：正应力、剪应力均不等于零；,D,：正应力、剪应力均等于零；,9,、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？,a,b,10,、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用,截面形式最合理。如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？,11,、等强度梁各个横截面上的,。,A,：最大正应力相等；,B,：最大正应力相等且等于许用正应力；,C,：最大剪应力相等；,D,：最大剪应力相等且等于许用剪应力；,12,、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上,而设计的等强度梁。,A,：受集中力、截面宽度不变,B,：受均布力、截面宽度不变；,C,：受集中力、截面高度不变,D,：受均布力、截面高度不变；,13,、悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合，从此后随力,P,的增加，梁内弯矩,。,P,A,：上升；,B,：下降；,C,：不变；,小结,1,、了解梁纯弯曲正应力的推导方法,2,、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条 件及其应用,4,、了解提高梁弯曲强度的主要措施,3,、掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及其应用,