山东省东营市垦利区第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

山东省东营市垦利区第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（ ）
A.30 B.35
C.40 D.45
2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）
A. B.
C. D.
4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
5．已知集合，,则（ ）
A. B.
C. D.
6．我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（ ）
A.96 B.48
C.24 D.12
7．由下面的条件一定能得出为锐角三角形的是（）
A. B.
C. D.
8．下列结论中正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（　　）
A.5800 B.6000
C.6200 D.6400
12．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为____________
14．已知离心率为，且对称轴都在坐标轴上的双曲线C过点，过双曲线C上任意一点P，向双曲线C的两条渐近线分别引垂线，垂足分别是A，B，点O为坐标原点，则四边形OAPB的面积为______
15．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______

16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为___________.（写出一个即可）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证：

（1）平面；
（2）平面平面.
18．（12分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴

（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和
19．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.
20．（12分）三棱锥各棱长为2，E为AC边上中点

（1）证明：面BDE；
（2）求二面角的正弦值
21．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是，的等比中项，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，，再从条件①：；②：；③：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（1）求和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】等差数列，由，有，
又，公差，所以，，得，
，，
∴当或10时，最大，，
故选：D
2、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.
【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.
3、A
【解析】设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可
【详解】设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，
故选：A
4、B
【解析】由空间向量的线性运算求解
【详解】由题意

，又，，，
∴,
故选：B
5、A
【解析】由已知得，
因为，
所以，故选A
6、C
【解析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.
【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.
第一天走了里，
第4天走了.
故选：C
7、D
【解析】对于A，两边平方得，由得，即为钝角；
对于B，由正弦定理求出，进而求出，可得结果；
对于C，根据平方关系将余弦化为正弦，用正弦定理可将角转化为边，进而可得的值，从而作出判断；
对于D，由可得，推出，，，故可知三个内角均为锐角
【详解】解：对于A，由，
两边平方整理得，，
因为，所以，
所以，所以，所以为钝角三角形，故A不正确；
对于B，由，得，
所以，
因为，所以，所以或，
所以或，所以为直角三角形或钝角三角形，故B不正确；
对于C，因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，
所以，故三角形为钝角三角形，C不正确；
对于D，由可得，
因为中最多只有一个钝角，所以，，中最多只有一个为负数，所以，，，所以中三个内角都为锐角，所以为锐角三角形，故D正确；
故选：D
8、D
【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.
【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；
C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.
故选：D
9、A
【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可
【详解】，
或，
∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴f(x)有极大值，
要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，
则，
又或，
∴，
综上，.
故选：A.
10、B
【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.
【详解】由已知条件得，
∴，∴，∴，∴，
故选：.
11、D
【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，
∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，
当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，
∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，
∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.
本题选择D选项.
12、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设两条曲线交点为根据椭圆和抛物线对称性知，不妨点A在第一象限，由A在抛物线上得，A在椭圆上得
.则由条件得：
.解得（舍去）
14、2
【解析】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，可得双曲线方程为，设，则到两渐近线的距离为，，从而可求四边形的面积
【详解】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
又双曲线过点，，∴，
故双曲线方程为，∴渐近线方程为，
设，则到两渐近线的距离为，，且，
∵渐近线方程为，
∴四边形为矩形，
∴四边形的面积为
故答案为：2
15、
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.
【详解】长方形可得，
因为平面与平面互相垂直，平面平面，
平面，故平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
故，，
故.
故答案为：
16、（答案不唯一）
【解析】设出抛物线方程，根据题意即可得出.
【详解】设抛物线的方程为，
根据题意可得，所以抛物线的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析
【解析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】（1）如图，连接.
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接，，
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是中点，∴.
∵平面平面，
∴平面.
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
18、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即
19、（1）（2）
【解析】（1）根据题意可得，，再由 ，即可求解.
（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出 ，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.
【详解】解（1）由题意得：，，∴ ，
∴
∴椭圆的方程为
(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为
与椭圆的方程联立可得：①
设两点的坐标为，由韦达定理得：
，
∴
点到直线的距离，
∴
由①知：， ，
令，则，∴
令，则 在上的最大值为
∴的最大值为
综上所述：三角形面积的最大值2.
【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立如图所示坐标系，则，易知平面BCD的法向量，利用空间向量法求出面BDE的法向量，结合向量的数量积计算即可得出结果.
【小问1详解】
正四面体中各面分别是正三角形，
E为AC边上中点，，
又平面，且，
所以面BDE
【小问2详解】
建立如图所示坐标系，于是，
，，，，
易知平面BCD的法向量
设面BDE的法向量，

于是，
令，则，，所以，
所以，得
所以二面角的正弦值为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据是，的等比中项，且，，由求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解：因为是，的等比中项，且，，
所以，
解得，，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
则，
两式相减得，
，
，
所以.
22、（1）an＝n，bn＝
（2）证明见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，由等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，列出方程组求解即可得答案；
（2）求出，利用裂项相消求和法求出前项和为，即可证明
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，
选①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
选②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
选③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
小问2详解】
证明：由（1）知，，，
所以