四川省成都市2026届数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

四川省成都市2026届数学高二上期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）
A. B.
C. D.与均为的最大值
2．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）
A.虚轴长为4 B.焦距为
C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为
3．圆C：的圆心坐标和半径分别为（ ）
A.和4 B.（－3，2）和4
C.和 D.和
4．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数有极大值 和极小值
B.函数有极大值 和极小值
C.函数有极大值 和极小值
D.函数有极大值 和极小值
5．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）
A. B.
C. D.
6．若在直线上，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知O为坐标原点，，点P是上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）
A. B.
C. D.
10．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）
A.26 B.27
C.28 D.29
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（ ）
A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件
C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件
12．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________
14．若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______
15．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为___________.
16．已知p：“”为真命题，则实数a的取值范围是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
18．（12分）已知圆心在直线上，且过点、
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程
19．（12分）已知，.
（1）若，为假命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．（12分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求外接圆面积的最小值.
21．（12分）已知直线与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
22．（10分）在平面直角坐标系中，点，直线轴，垂足为H，，圆N过点O，与l的公共点的轨迹为
（1）求的方程；
（2）过M的直线与交于A，B两点，若，求
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.
【详解】由可得，
由可得，故选项B 正确；
由可得，
因为公差，故选项A正确，
，
所以，故选项C不正确；
由于是等差数列，公差，，，，
所以都是的最大值，故选项D正确；
所以选项C不正确，
故选：C
2、D
【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，
所以虚轴长为6，故A错误；
焦距为，故B错误；
渐近线方程为，故D正确；
焦点到渐近线的距离为，故C错误；
故选：D.
3、C
【解析】先将方程化为一般形式，再根据公式计算求解即可.
【详解】解：可化为，
由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为
故选：C
4、D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
5、A
【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
6、D
【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案
【详解】∵ 在直线上，
∴ 直线的一个方向向量，
又∵，
∴是直线的一个方向向量
故选：D
7、A
【解析】根据三点共线，可得，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得，最后计算，经过化简观察，可得结果.
【详解】设，则

则
∴当时，取最小值为-10，
此时点P的坐标为.
故选：A
【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.
8、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
9、A
【解析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）
故选：A
10、B
【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可
【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,
故选:B
【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题
11、D
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断
【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；
第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，
当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，
两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立
故选：D
12、B
【解析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.
【详解】解：圆的圆心为，半径长为，
设点，
由点为椭圆上的动点，可得：且，
由为圆的任意一条直径可得：
，，
，
，，
当时，取得最大值，即.
故答案为：.
14、
【解析】先设圆上任意一点的坐标，然后利用直径对应的圆周角为直角，再利用向量垂直建立方程即可
【详解】设圆上任意一点的坐标为
可得：，
则有：，即
解得：
故答案为：
15、1
【解析】利用空间向量求点到平面的距离即可.
【详解】，
，
∴则点P到平面的距离为.
故答案为：1.
16、
【解析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；
（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】解：（1）设圆方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，

四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程
【详解】由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
19、（1）
（2）
【解析】（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
由，解得，即，
由，可得，所以，
当时，解得，即，
因为为假命题，则、都为假命题，
当为假命题时：或
当为假命题时：或
故当、都为假命题，或
综上可得；
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，
由（1）可知，，
所以真包含于，
所以，解得，即
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；
（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.
【小问1详解】
因为，所以，
解得或（舍去），
又为锐角三角形，所以.
【小问2详解】
因为，
当且仅当时，等号成立，所以.
外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为.
21、（1）；.
（2）或.
【解析】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；
(2)根据截距式方程的求法解答
【小问1详解】
由得
设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程为
∴两平行线间的距离
【小问2详解】
当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程的方程为，即
综上所述，直线的方程为或
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)设出圆N与l的公共点坐标，再探求出点N的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.
(2)设出直线AB的方程，与的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.
【小问1详解】
设为圆N与l的公共点，而直线轴，垂足为H，则，
又，，于是得，因O，P在圆N上，即，
则有，化简整理得：，
所以的方程为.
【小问2详解】
显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，
由消去x并整理得：，则，
因为，则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍，即，
由解得或，则有，
因此有，
所以.