2025年本溪市高级中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年本溪市高级中学数学高二上期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点到其准线的距离是（）
A.4 B.3
C.2 D.1
2．已知全集，集合，则（）
A. B.
C. D.
3．椭圆的长轴长是（）
A.3 B.6
C.9 D.4
4．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
6．命题“若，则”的否命题是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）

A.100 B.
C.300 D.400
8．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A. B.
C. D.
9．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）
A. B.
C. D.
10．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）
A.6 B.10
C.11 D.12
11．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）
A.24种 B.6种
C.4种 D.12种
12．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设过点K (-1，0）的直线l与抛物线C：y2 =4x交于A、B两点，为抛物线的焦点，若|BF| =2|AF|，则cos ∠AFB =_______
14．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________
15．如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米

16．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为__.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值
18．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
（1）求a，b的值；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
19．（12分）已知直线.
（1）若，求直线与直线的交点坐标；
（2）若直线与直线垂直，求a的值.
20．（12分）如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点

（1）求圆锥的表面积；
（2）求点B到直线CD的距离
21．（12分）某企业搜集了某产品的投人成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）的六组数据，并将其绘制成如图所示的散点图.根据散点图可以看出，y与x之间是线性相关的.

（1）试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）若投入成本不高于10万元，则可以根据（1）中的回归方程估计产品销售收入；若投入成本高于10万元，投入成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间的关系式为.若该企业要追求更高的毛利率（毛利率），试问该企业对该产品的投入成本选择收人7万元更好，还是选择12万元更好？说明你的理由.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考数据：.
22．（10分）已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.
【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.
2、B
【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.
【详解】全集，集合，
则，故
故选：B
3、B
【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.
故选：B
4、C
【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.
【详解】函数有两个零点，
方程有两个根，
，分离参数得，
与图象有两个交点，
令，
，令，解得
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，且
在处取得极大值及最大值，
可以画出函数的大致图象如下：

观察图象可以得出.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.
5、A
【解析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.
【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是.
故选：A.
6、B
【解析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定
【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定
所以命题“若，则”的否命题是若，则；
故选：B
7、B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出
【详解】设大圆锥的高为，所以，解得
故
故选：B
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题
8、A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9、D
【解析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.
【详解】设，所以，
因为为纯虚数，所以，解得，
所以的虚部为：.
故选：D.
10、C
【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，且，，为等比数列，
所以，
解得或（舍去），
则，
所以，
解得，
所以使成立的最大n是11，
故选：C
11、B
【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B
12、D
【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】圆的圆心为原点，由于且，
所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据已知设直线方程为与C联立，结合|BF| =2|AF|，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.
【详解】令直线的方程为将直线方程代入批物线C: 的方程，
得令且，
所以
由抛物线的定义知，
由|BF| =2|AF|可知，，则，
解得：，，
则A，B两点坐标分别为，则
则.
故答案为：
14、##
【解析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.
【详解】
双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，

设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，
由焦点到渐近线的距离为得，
又，∴，且，
∴，
∴，
则.
故答案为：.
15、
【解析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.
【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，

则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，
所以，即
故抛物线的方程为，
设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，
所以此时桥洞中水面的宽度为米
故答案为：
16、
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.
【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，1，，，，
设异面直线与所成角为，
，
异面直线与所成角为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可
（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后分别求出平面与平面的一个法向量，最后求出平面与平面夹角的余弦值
【小问1详解】
四边形是正方形，可得：
又平面 ，平面
则有：平面
四边形是梯形，可得：
又平面 ，平面
则有：平面
又
故平面平面
【小问2详解】

依题意知两两垂直，故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：
，，，
可得： ，，
设平面的一个法向量，则有：

取，可得：
设平面的一个法向量，则有：

取，可得：
设平面与平面的夹角为，则
故平面与平面夹角的余弦值为
18、（1）
（2）
【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；
（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.
【小问1详解】
令，则，
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则，解得；
【小问2详解】
令，则，于是方程可变为，即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解；
（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：当时，直线，
联立，解得，
即交点坐标为；
【小问2详解】
解：直线与直线垂直，
则，解得.
20、（1）
（2）
【解析】（1）直接运用圆锥的表面积公式计算即可；
（2）建立空间直角坐标，然后运用向量法计算可求得答案.
【小问1详解】

【小问2详解】
如图，建立直角坐标系
，，，

，
∴B在CD上投影的长度
∴B到CD的距离

解法2：设直线CD上一点E满足
令，则
∴，
∴，∴
∴，故B到CD距离为.
21、（1）
（2）该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由见解析.
【解析】（1）根据公式计算出和，求出线性回归方程；（2）分别求出投入成本7万和12万时的毛利率，比较出大小即可得到答案.
【小问1详解】
，
，，所以y关于x的线性回归方程为；
【小问2详解】
该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由如下：
当时，，此时毛利率为×100％≈34％；当时，，此时毛利率为=40％，因为40％>34％，所以该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好.
22、（1）2；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；
（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.
【小问1详解】
解：由题意得，
由正弦定理得：，
即，
即，
因为，
所以
【小问2详解】
解：由余弦定理，即，
由基本不等式得：，即，
当且仅当时取得等号，
，
所以面积的最大值为