2025-2026学年山东省青岛市平度一中数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025-2026学年山东省青岛市平度一中数学高二第一学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆与圆公切线的条数为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）
A. B.
C. D.
3．若函数在上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）
A.510 B.126
C.256 D.512
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）
A. B.
C. D.
7．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（）

A.45 B.55
C.90 D.110
8．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
9．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（　　）
A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件
10．在等差数列中，若，则的值为（）
A. B.
C. D.
11．在中，内角的对边分别为，若，则角为
A. B.
C. D.
12．若数列的通项公式为，则该数列的第5项为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.
14．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.

15．设是数列的前项和，且，则_____________.
16．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
（1）求数列{}和数列}的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
18．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若B为椭圆C上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.
20．（12分）城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的株数，数学期望.
（1）求p的值并写出的分布列；
（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
21．（12分）已知是公差不为零等差数列，，且、、成等比数列
（1）求数列的通项公式：
（2）设．数列{}的前项和为，求证：
22．（10分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）定义：记，求数列的前20项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.
【详解】根据题意，圆即，
其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；
两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；
故选：D.
2、C
【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程
【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，
则点，所以圆心为，半径，
所以方程为，
故选：C
3、C
【解析】求出函数的导数，要使函数在上为增函数，要保证导数在该区间上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.
详解】由题意可知，
若在递增，则在恒成立，
即有，则，
故选：C.
4、C
【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.
【详解】由圆可得标准方程为，
因为圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：C.
5、B
【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，可得，
解得，
所以数列前6项的和.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6、A
【解析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）
故选：A
7、B
【解析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球.
【详解】根据规律，可以得知：第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球，则根据规律可知：第层有个球
设第层的小球个数为，则有：
故第十层球的个数为：
故选：
8、B
【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】，
因为不等式恒成立，
所以，即，
解得，所以.
故选:B.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
9、A
【解析】根据事件的关系进行判断即可.
【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，
所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.
故选：A.
【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.
10、C
【解析】利用等差数列性质可求得，由可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，，
解得：；
又，.
故选：C.
11、A
【解析】因为，
那么结合，
所以cosA==，
所以A=，故答案为A
考点：正弦定理与余弦定理
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.
12、C
【解析】直接根据通项公式，求；
【详解】，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.
【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，
所以，则，且切线斜率，即，
所以切线方程或，整理得或.
故答案为：或.
14、##
【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知

∴
∴.
故答案为：

15、
【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】根据当时，有，令，得到在上递增，再根据在上的偶函数，得到在上是奇函数，则在上递增，然后由，得到求解
【详解】∵当时，有，令，
∴，
∴在上递增，
又∵在上的偶函数
∴，
∴在上是奇函数
∴在上递增，
又∵，
∴
当时，，此时，0＜x＜1，
当时，，此时，，
∴成立的的取值范围是
故答案为：﹒

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）①；②
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
18、（1）；
（2）存在，T(0，1)﹒
【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；
(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.
【小问1详解】
由题可知，，
则，
由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴，
∴P的轨迹方程为C：；
【小问2详解】
假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，
联立，化为，易知恒成立，
∴(*)
由题可知，

将(*)代入可得：
即
∴，解，
∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解；
（2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解
【小问1详解】
解：因为的周长为，所以，即，
又离心率，所以，，
所以，
故椭圆的方程为
【小问2详解】
解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
因为点为，
所以直线的方程为，所以点，，
直线的方程为，所以点，，
所以，即为定值
20、（1），分布列见解析；
（2）.
【解析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，又，所以，
故未成活率为，
由于所有可能的取值为0,1,2,3,4，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为

0
1
2
3
4

【小问2详解】记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，，
所以需要补种棕榈树的概率为.
21、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，则，
由题意可得，即，整理可得，，解得，
因此，.
【小问2详解】
证明：，
因此，，
故原不等式得证.
22、（1）；
（2）
【解析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；
（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和
【小问1详解】
由题意，当时，

两式相减，得，即
是首项为3，公比为3的等比数列

设数列的公差为，

小问2详解】
由