江西省靖安中学2025年数学高二第一学期期末考试试题含解析.doc

江西省靖安中学2025年数学高二第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与至少有一个红球
C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D.至少有一个黑球与都是红球
2．①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若，则”的逆否命题；③“若，则”的否命题.其中真命题的个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
3．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
4．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则　　
A.12 B.10
C.5 D.
9．抛物线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
10．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）
A.-3 B.-2
C. D.1
11．散点图上有5组数据：据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）
A.54.2 B.87.64
C.271 D.438.2
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“，”的否定是____________.
14．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.
15．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
16．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
（1）判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
（2）设数列具有性质，求证：；
（3）若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.
18．（12分）已知圆的圆心在直线上，且过点
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.
19．（12分）已知直线.
（1）若，求直线与直线交点坐标；
（2）若直线与直线垂直，求a的值.
20．（12分）在等比数列中，已知，
（1）若，求数列的前项和；
（2）若以数列中的相邻两项，构造双曲线，求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同
21．（12分）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，
（1）求数列的首项和公差；
（2）求的最小值.
22．（10分）已知平面内两点，，动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.
【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
2、B
【解析】写出逆命题判断①；写出逆否命题判断②；写出否命题判断③.
【详解】①: “若，则互为相反数”的逆命题为：“若互为相反数，则”，是真命题；
②：“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
因为当时，有，但不成立.故“若，则”是假命题.
③：“若，则”的否命题为：“若，则”.
因为当时，有，但是，即不成立.
故“若，则”是假命题..
故选：B
3、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
4、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
5、A
【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.
【详解】解：圆的圆心，，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：A.
6、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
7、B
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.
【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项B.由，，则，故正确.
选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.
故选：B
8、C
【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出
【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，
∴+＝4，
由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，
则log2（•）＝
故选C
【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题
9、C
【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解
【详解】由，有，可得，
抛物线的焦点坐标为
故选：C
10、B
【解析】先画出可行域，由，作出直线向下平移过点A时，取得最小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案
【详解】由题可得其可行域为如图，l：，当经过点A时，取到最小值，
由，得，即，
所以的最小值为
故选：B

11、C
【解析】通过样本中心点来求得正确答案.
【详解】，故，
则，
故.
故选：C
12、A
【解析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.
【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，
由双曲线定义知，，
而，于是可得，在等腰中，，
令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，
而，，，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：
(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
(2)齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、，
【解析】根据全称命题量词的否定即可得出结果.
【详解】命题“”的否定是“，”
故答案为：
14、
【解析】根据牛顿迭代法的知识求得.
【详解】构造函数，，
切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
，
所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
故答案为：
15、
【解析】设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：
16、1
【解析】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）数列，，，不具有性质；
（2）证明见解析；（3）可能取值只有.
【解析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.
（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.
（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.
【小问1详解】
数列，，，不具有性质.
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质.
【小问2详解】
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以.
设，因为，所以.
又，则，，，，.
将上面的式子相加得：.
所以.
【小问3详解】
（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.
（iii）当时，由（2）知，.①
当时，，所以，.
又，，
∴，，，，即.
由，，得：，，
∴.②
由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上，满足题设的的可能取值只有.
【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为
∵ 过点，

解得
∴ 所求圆的方程为
（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为
故由点到直线的距离公式得：
解得，所以直线l的方程为
综上所述，则直线l的方程为或
【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解；
（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：当时，直线，
联立，解得，
即交点坐标为；
【小问2详解】
解：直线与直线垂直，
则，解得.
20、（1）；
（2）证明过程见解析.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前项和公式进行求解即可；
（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，因此，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，在双曲线中，
，所以得，
因此双曲线的渐近线方程为：，
双曲线的离心率为：，
所以双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.
21、（1）首项为-2，公差为1；
（2）.
【解析】(1)设出等差数列的公差，再结合前n项和公式列式计算作答.
(2)由(1)的结论，探求数列的性质即可推理计算作答.
【小问1详解】
设等差数列首项为，公差为，而为其前n项和，，，
于是得：，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，，，数列是递增数列，前3项均为非正数，从第4项起为正数，
而，于是得的前2项和与前3项和相等并且最小，
所以当或时，.
22、（1）
（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）直接由斜率关系计算得到；
（2）设出直线，联立椭圆方程，韦达定理求出，再结合三点共线，求出参数，得到过定点.
小问1详解】
设动点，由已知有，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，
设直线方程为，，，则，
由，可得，
则，即为，
，，
因为直线过定点，所以三点共线，即，即，
即，即，
即得，
整理，得，满足，
则直线方程为，恒过定点.
【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或得到两个参数之间的关系，即可求出定点.