西藏示范名校2025年数学高二上期末检测试题含解析.doc

西藏示范名校2025年数学高二上期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）
A. B.
C. D.
2．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）
A.9 B.12
C.20 D.
3．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）

A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
4．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
5．直线的倾斜角为（）
A B.
C. D.
6．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）

A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分
B.该同学次测试成绩的众数是分
C.该同学次测试成绩的中位数是分
D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关
7．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
8．若复数满足，则复平面内表示的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
10．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
11．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）
A. B.
C. D.
12．抛物线的焦点坐标是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.
14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
15．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.
16．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值.
19．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率
（1）求；
（2）求证：为等比数列，并求的表达式
20．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值
21．（12分）已知动点M到定点和的距离之和为4
（1）求动点轨迹的方程；
（2）若直线交椭圆于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求的面积
22．（10分）已知直线，，，其中与的交点为P
（1）求过点P且与平行的直线方程；
（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式
【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），
当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
∴左边需增乘的代数式是
故选：C
【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键
2、C
【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
3、D
【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
若平面，因为，则平面平面，
事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；
对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，
平面，平面，则，
，，平面，
而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；
对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
，，则平面，
若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，平面，
而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，
所以，平面平面，所以，，
但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；
对于D选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，，
，平面，
因为平面，因此，平面平面平面，D对.
故选：D.

4、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
5、C
【解析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
∵，所以.
故选：C
6、C
【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；
对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；
对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；
对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.
故选：C
7、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.
8、A
【解析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，可得，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
9、B
【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】解：因为在双曲线中，因为，
所以，
所以，
在中，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.

10、B
【解析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
11、A
【解析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.
【详解】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即
联立，解得
的外心为
则，
整理得：②
联立①②得：，或，
当，时，重合，舍去
顶点的坐标是
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.
12、C
【解析】化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.
【详解】抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案
【详解】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.
即的取值范围为.
故答案为
点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题
14、 ①.5 ②.
【解析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：

，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
解答题
15、4
【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，
故答案为：4
16、
【解析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a的范围.
【详解】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图

故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.
【小问1详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设.
（1）写出、的坐标，利用空间向量法计算出直线与所成角的余弦值；
（2）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可计算得出直线与平面所成角的正弦值；
（3）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】平面，四边形为正方形，设.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则、、、、、.
（1），，
，
所以，异面直线、所成角的余弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，可得，则，
，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设平面的一个法向量为，，，
由，可得，得，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
，
由图形可知，二面角为锐角，
因此，二面角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
19、（1），，，
（2）证明见解析，
【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；
(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.
【小问1详解】
，，，
【小问2详解】
第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为
故，即
故为等比数列且，公比
故，故
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：连接，交于点，
∵四边形是菱形，∴，
∵平面平面，平面平面，，
∴平面，
∵平面，∴，
又，、平面，
∴平面，
∵平面，∴
（2）解：取的中点，连接，
∵是边长为4的菱形，，
∴，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
同理可得，平面的一个法向量为，
∴，
由图知，平面与平面所成角为锐角，
故平面与平面所成角余弦值为
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用椭圆的定义即求；
（2）由直线方程与椭圆方程联立，可解得点，再利用三角形面积公式即求.
【小问1详解】
∵动点M到定点和的距离之和为4，
∴动点M的轨迹是以和为焦点的椭圆，可设方程为，
则，
故动点轨迹的方程为；
【小问2详解】
由可得，
∴或，
∴，又O是坐标原点，

∴的面积为.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；
（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.
【小问1详解】
联立、得：，可得，故，
又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，
∴所求直线方程为.
【小问2详解】
由（1），P到的距离，
∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，
∴所求圆的方程为.