聊城市重点中学2025年数学高二上期末联考模拟试题含解析.doc

聊城市重点中学2025年数学高二上期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A. B.
C. D.
3．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是( )
①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.

A.0 B.1
C.2 D.3
4．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A.130 B.132
C.140 D.144
5．已知向量，．若，则（ ）
A. B.
C. D.
6．不等式的解集为（）
A. B.
C.或 D.或
7．已知数列是等比数列，且，则的值为（）
A.3 B.6
C.9 D.36
8．若直线：与直线：平行，则a的值是（ ）
A.1 B.
C.或6 D.或7
9．已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则=（ ）
A.54 B.36
C.27 D.18
10．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
11．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（）
A. B.
C. D.
12．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____
14．已知函数在上单调递减，则的取值范围是______.
15．已知向量，，，则___________.
16．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值
18．（12分）在数列中，,，数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；
（3）令，对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.
19．（12分）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
（1）；
（2）直线在轴、轴上截距之和等于.
20．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.
21．（12分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的
（1）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？
（2）这个飞机模型上升的最大高度能超过米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过米；如果不能，请说明理由
22．（10分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系

（1）求新桥BC的长度；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

2、A
【解析】分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据，求解.
【详解】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
【点睛】此题利用设而不求的方法，找出、、、之间的关系，化简即可得到的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.
3、C
【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.
【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；
②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；
③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，
∵，
∴曲线C上离原点最远的点的距离为
显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，
又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.
故③错误.
故选：C.
4、A
【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A
5、A
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.
【详解】向量，，因，则，解得，
所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.
故选：A
6、A
【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可
【详解】由，得，
解得，
所以原不等式的解集为，
故选：A
7、C
【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.
【详解】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
故选：C
8、D
【解析】根据直线平行的充要条件即可求出
【详解】依题意可知，显然，所以由可得，，解得或7
故选：D
9、C
【解析】根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.
【详解】由，
解得或（舍去），
，
，

故选：C
10、C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.
11、A
【解析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程
【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则
，得，
所以，
所以曲线C的方程为，
设，则
，
两方程相减整理得，
因为AB中点坐标为M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
12、C
【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解
【详解】由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.
【详解】正方形的面积为，如下图所示：

阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.
【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.
14、
【解析】先求导，求出函数的单调递减区间，由即可求解.
【详解】，令，得，即的单调递减区间是，
又在上单调递减，可得，即.
故答案为：.
15、2
【解析】由空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，.
故答案为：2.
16、8
【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.
【详解】抛物线C：焦点，准线方程为，
依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，
设，则，于是得，
所以线段AB的长为8.
故答案为：8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）当或11时，最大值为55.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.
（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.
【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.
故，故.
（2）由（1）可得，
因为，对称方程为，故当或时，取最大值，
此时最大值为.
18、（1）证明见解析，；
（2）；
（3）.
【解析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后分、两种情况讨论，结合裂项相消法可得出的表达式；
（3）求得，分、、三种情况讨论，利用奇数与偶数的性质以及整数的性质可求得、的值，综合可得出结论.
【小问1详解】
解：由可得，，则，，
以此类推可知，对任意的，，则，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
故，可得.
【小问2详解】
解：由（1）知，所以，所以，
当n＝1时，，
当时，.
因为满足，所以.
【小问3详解】
解：，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，所以，，
又，所以，，则；
②若，则，则，
左边为偶数，右边为奇数，所以，②不成立；
③若，同②可知③也不成立
综合①②③得，
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由两直线平行可得出关于的等式，求出的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；
（2）分析可知，求出直线在轴、轴上的截距，结合已知条件可得出关于的等式，即可解得的值.
【小问1详解】
解：由，则，即，解得或.
当时，，，此时；
当时，，，此时重合，不合乎题意.
综上所述，；
【小问2详解】
解：对于直线，由已知可得，则，
令，得；令，得.
因为直线在轴、轴上截距之和等于，即，解得.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)利用抛物线点，n)到焦点的距离等于到x轴的距离求出，从而得到抛物线的标准方程
(2)联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解
【小问1详解】
由题意可得，故抛物线方程为；
【小问2详解】
设，，，，直线的方程为，
联立方程中，消去得，，
则，
又，
解得或(舍去)，直线方程为，直线过定点
21、（1）；
（2）不能，理由见解析.
【解析】（1）由题得每分钟上升的高度构成等比数列，再利用等比数列的通项求解；
（2）求出即得解.
【小问1详解】
解：由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，
则米.
即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米.
【小问2详解】
解：不能超过米.
依题意可得，
所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过米.
22、（1）80m；
（2）.
【解析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质进行求解即可.
【小问1详解】
由题意，可知，，∵∴
直线BC方程：①，
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知，∴，从而得
故新桥BC得长度为80m
【小问2详解】
设，则，圆心，
∵直线BC与圆M相切，∴半径，
又因为，
∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小