山东省栖霞市第一中学2026届数学高二上期末调研模拟试题含解析.doc

山东省栖霞市第一中学2026届数学高二上期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
2．定义在区间上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则
A.
B.
C.
D.
3．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A 2 B.3
C.4 D.5
4．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（ ）
A.6 B.12
C.36 D.48
5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）
A. B.
C. D.
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. B.1
C.2 D.4
7．若，则的值为（ ）
A.或 B.或
C.1 D.－1
8．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）

A.在内是增函数
B.在内是增函数
C.在时取得极大值
D.在时取得极小值
9．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）
A B.
C. D.
11．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线围成的图形的面积为___________.
14．设圆，圆，则圆有公切线___________条.
15．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______
16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点

（1）求证：平面平面PBC；
（2）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值
18．（12分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，

（1）证明：平面平面BCD；
（2）若三棱锥的体积为，E是棱AC上的一点，当时，二面角E－BD－C大小为60°，求t的值
19．（12分）有时候一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同品牌的一些食品所含热量的百分比记为和一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数记为：
食品品牌
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
14
百分制口味评价分数
88
89
80
78
75
71
65
62
60
52
参考数据：，，，
参考公式：，
（1）已知这些品牌食品的所含热量的百分比与美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到）；
（2）某人只能接受食品所含热量百分比为及以下的食品.现在他想从这些食品中随机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数为分以上的概率.
20．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：
（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.
21．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

参考数据：

650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
表中.
（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；
（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.
22．（10分）已知圆C的圆心为，且圆C经过点
（1）求圆C的一般方程；
（2）若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】，解得或，
因为“”的必要不充分条件是“或”，
所以.
实数的最小值为.
故选：A
2、D
【解析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出
【详解】令，，
，
，恒成立，
，，
，函数在上单调递增，
，
令，，，
，恒成立，
，函数在上单调递减，
，．综上可得：，
故选：D
【点睛】函数的性质是高考的重点内容,本题考查的是利用函数的单调性比较大小的问题,通过题目中给定的不等式,分别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系．在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则．对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响
3、B
【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.
【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，
.
故选：B.
4、C
【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.
【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，
所以，即，当且仅当时等号成立.
所以mn的最大值为.
故选：C
5、D
【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】，0，，，1，，，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故选：D
6、C
【解析】直接运用正弦定理可得，解得
详解】由正弦定理，得，所以
故选：C
7、B
【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.
【详解】，
，
解得或，
故选：B
8、B
【解析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
9、D
【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程
【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得
故选：
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题
10、B
【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为
【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为
令，得；
令，得
故所求三角形的面积为

故选：B
11、B
【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.
【详解】由双曲线的离心率为，知 ，
则，即有 ，故，
所以双曲线C的渐近线方程为 ，即，
故选：B.
12、C
【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.
【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有种情况，
取到3块月饼都是五仁月饼有种情况，
所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.

当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案：.
14、2
【解析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.
【详解】由题意得，圆：，圆：，
∴，∴与相交，有2条公切线.
故答案为：2
15、 ①. ②.l
【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；
【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为
故P到坐标原点的距离的最小值为
故答案为：；；
16、36
【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值
【详解】∵l⊥α，
∴，
∴，解得，
∴
故答案为：36

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.
【小问1详解】

如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，，
而平面平面ABCD，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
而，故，
因，故平面，因平面，
故，因，故平面，
而平面，故平面平面.
【小问2详解】
连接，因为，故四边形为平行四边形，
而，故四边形为矩形，所以，
由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，

则
所以，，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，
故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.
18、（1）证明见解析
（2）3
【解析】（1）证得平面BCD，结合面面垂直判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得，进而解方程即可求出结果.
【小问1详解】
因为，O是BC的中点，
所以，又因为，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因为平面ABC，所以平面平面BCD
【小问2详解】
连接OD，又因为是边长为2的等边三角形，
所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO两两互相垂直
以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系

设，则O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，
因为A－BCD的体积为，所以，
解得，即A（0，0，3），
，∵，∴，
设平面BCD的法向量为，,
则，取平面BCD的法向量为，，，
设是平面BDE的法向量，则，
∴取平面BDE的法向量
，解得或（舍）
19、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出、、，即可求出，从而求出回归直线方程；
（2）由表可知某人只能接受的食品共有种，评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，，用列举法列出所有的可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：设所求的回归方程为，
由，
，，
，
所求的回归方程为：.
【小问2详解】
解：由表可知某人只能接受的食品共有种，其中美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，.
任选两种分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.
记“所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此食品口味的评价分数为分以上”为事件，则事件包含，，，，，，，，共个基本事件，
故事件发生的概率为.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【小问1详解】
证明：连接DE
因为，且D为AC的中点，所以
因为，且D为AC的中点，所以
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面
因为，所以平面BDE，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设．则，，．从而，
设平面BCE的法向量为，
则令，得
平面ABC的一个法向量为
设二面角为，由图可知为锐角，
则
21、（1）；
（2）；810公斤；
（3）.
【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.
（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.
（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.
【小问1详解】
根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.
【小问2详解】
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，则，
∴关于的回归方程为，
当时，，
∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.
小问3详解】
依题意，，则有，
∴，则，
∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设圆C的一般方程为．由圆C的圆心和圆C经过点求解；
（2）根据圆与圆C恰有两条公切线，由圆O与圆C相交求解.
【小问1详解】
解：设圆C的一般方程为
∵圆C的圆心，
∴即
又圆C经过点，
∴
解得
经检验得圆C的一般方程为；
【小问2详解】
由（1）知圆C的圆心为，半径为5
∵圆与圆C恰有两条公切线，
∴圆O与圆C相交
∴
∵，
∴
∴m的取值范围是