上海交大南洋中学2025年数学高二第一学期期末调研试题含解析.doc

上海交大南洋中学2025年数学高二第一学期期末调研试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）

A. B.
C. D.
3．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（）
A. B.
C. D.
4．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）
A.， B.
C.， D.
5．已知函数，则（　　）
A.0 B.1
C.2 D.
6．已知是等比数列，则（ ）
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
7．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
8．若倾斜角为的直线过两点，则实数（ ）
A. B.
C. D.
9．椭圆上的一点M到其左焦点的距离为2，N是的中点，则等于（ ）

A.1 B.2
C.4 D.8
10．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）
A.50% B.30%
C.10% D.60%
11．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（）
A.与互为对立事件 B.与互斥
C与相等 D.
12．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）

A.圆上 B.双曲线上
C.抛物线上 D.椭圆上
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则__________
14．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______.
15．已知直线与垂直，则m的值为______
16．如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
18．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的75%分位数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例
19．（12分）已知一张纸上画有半径为4圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.
（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；
（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，

（1）求证：平面ACM；
（2）求平面MBC与平面DBC的夹角的大小
21．（12分）已知为直角梯形，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）已知数列的首项，， ，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB距离，

又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
2、B
【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.
【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：
（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），
沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），
故到达点的概率，
故选：B.
3、D
【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，最后利用等面积法，即可求解
【详解】设，，为双曲线的两个焦点，
设焦距为，，点P在双曲线上，，，
，，
，的面积为，
利用等面积法，设的高为，则为点P到x轴的距离，
则，
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
4、D
【解析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.
【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得
故选：
5、C
【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.
【详解】函数,则，
，
故选C
【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.
6、B
【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.
【详解】若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
7、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
8、A
【解析】解方程即得解.
【详解】解：由题得.
故选：A
9、C
【解析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得即可.
【详解】由椭圆方程，得，
由椭圆定义得，又，
，又为的中点，为的中点，
线段为中位线，
∴.
故选：C.
10、A
【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.
【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，
甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，
所以甲、乙两人下成平局的概率为.
故选：A.
11、D
【解析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，，
所以ABC错误，D正确，
故选：D
12、A
【解析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.
【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，
则，，因为为底面内的一动点，所以可设，
因此，，
因为平面，所以，因此，
所以由得，
即，整理得：，表示圆，
因此，动点的轨迹在圆上.
故选：A.

【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.
【详解】令，则；
令，则.
上述两式相加得
故答案为：.
【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出部分的面积，即可求得答案.
【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为，则，
记事件为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则，
即
∴.
故答案为：.

【点睛】本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.
15、0或-9##-9或0
【解析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线与垂直，则有，解得或，
所以m的值为0或-9.
故答案为：0或-9
16、.
【解析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】取CD的中点O，以O为原点，以CD所在直线为x轴，
以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴，
以过点O且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，，
，，，
所以，
所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
18、（1）20人（2）
（3）
【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
【小问3详解】
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为
19、（1）；
（2）﹒
【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；
(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒
【小问1详解】
以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：

∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，
则MN垂直平分，∴，又∵，∴，
∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；
【小问2详解】
设，，则的周长为
当轴时，l的方程为，，，
当l与x轴不垂直时，设，
由得，
∵D＞0，∴，，

，
令，则，
，
∵，∴，∴.
综上可知，S的取值范围是
20、（1）证明见解析
（2）30°
【解析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.
【小问1详解】
连接BD，与AC交于点O，
在中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则，
又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.
【小问2详解】
设E是AB的中点，连接PE，因为为正三角形，则，
又因为平面底面ABCD，平面平面，
则平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，

所以，，
设平面CBM的法向量为，则，
令，则，因为平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为，
所以，
所以平面MBC与平面DBC所成角大小为30°
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】建立空间直角坐标系.
（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.
方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.
（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
可得，，，.
（1）证明法一：因为，，，
所以，，
所以，，，平面，平面，
所以平面.
证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，
所以平面.

（2）由（1）知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
又，，
且
所以
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义即可证明.
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
当时，，
所以：数列是公比为3的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，
所以：，所以：，
，
所以，①
所以，②
①②可得

.