2025年山东省青岛市第二中学数学高二第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年山东省青岛市第二中学数学高二第一学期期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）
A.3 B.2
C. D.
2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （　　）
A. B.
C. D.
3．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则：
①．圆M上的点到原点的最大距离为
②．圆M上存在三个点到直线的距离为
③．若点在圆M上，则的最小值是
④．若圆M与圆有公共点，则
上述结论中正确的有（）个
A.1 B.2
C.3 D.4
4．下列命题中正确的是（ ）
A.若为真命题，则为真命题
B.在中“”是“”的充分必要条件
C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”
D.命题，使得，则，使得
5．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，的C的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
6．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
A. B.
C. D.
8．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（）
（次数/分钟）
20
30
40
50
60
（℃）
25
27.5
29
32.5
36
A.的值是20
B.变量，呈正相关关系
C.若的值增加1，则的值约增加0.25
D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
9．已知数列是等比数列，且，则的值为（）
A.3 B.6
C.9 D.36
10．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）

A B.
C. D.
11．等差数列中，若，，则等于（）
A. B.
C. D.
12．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为__________
14．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________
15．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______
16．已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.
18．（12分）如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面的距离.
19．（12分）证明：是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如（m，n互质，）的形式）
20．（12分）已知函数
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围
21．（12分）已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和，求的值.
22．（10分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用抛物线的定义求解.
【详解】因为点在抛物线上，，解得，
利用抛物线的定义知
故选：D
2、C
【解析】抛物线焦点为，准线方程为，
由得或
所以，故答案为C
考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系
3、A
【解析】由题意求出的垂直平分线可得△的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D
【详解】由题意，△的欧拉线即的垂直平分线，
，，
的中点坐标为，，则的垂直平分线方程为，即
由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，
，则圆的方程为：，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故①错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故②正确；
的几何意义：圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得，
的最小值是，故③错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，，
，解得，故④错误
故选：A
4、B
【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.
【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；
在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；
命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；
命题，使得，则，使得，故D错误.
故选：B
5、C
【解析】由双曲线的方程可得渐近线的直线方程，根据直线和圆相交弦长可得圆心到直线的距离，进而可得，结合，可得离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，
，解得，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.
6、C
【解析】利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
7、D
【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.
【详解】设，圆心为，
则，
当时，取到最大值，∴最大值为
故选：D.
【点睛】本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论
8、D
【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.
【详解】由题意，得，
，
则，故A正确；
由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确；
若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：D.
9、C
【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.
【详解】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
故选：C
10、B
【解析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.
【详解】因为，
所以

，
故选：B
11、C
【解析】由等差数列下标和性质可得.
【详解】因为，，所以.
故选：C
12、B
【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负
【详解】∵，∴和异号，
又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，
由，所以，
，
∴满足的最大自然数为4040
故选：B
【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可
【详解】由题，当时，，故点在曲线上
求导得：，所以
故切线方程为
故答案为：
14、
【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.
【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，
所以第22组的第1个数为.
故答案为：
15、
【解析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a，即可确定实轴长.
【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，
所以，由相切关系知：，可得，又，即，
所以双曲线的实轴长为.
故答案为：
16、
【解析】先求出中点坐标，再由距离公式得出过B点的中线长.
【详解】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
【小问1详解】
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点轨迹方程为
【小问2详解】
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：

18、（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；
（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；
（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.
【小问1详解】
证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，
方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.

因为，所以，

所以
所以，
所以.
法二：连接，在直三棱柱中，有面，
面，所以，又，则，
因为，所以面
因为面，所以
因为，
所以四边形为正方形，所以
因为，所以面
因为面，所以.
法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面
因为面，所以，又，则，
因为，所以面
所以在平面内的射影为，
因为四边形为正方形，所以，
因此根据三垂线定理可知
【小问2详解】
证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以、，依题意可知为重心，则，
可得所以，
，设为平面的法向量，
则即取得
则平面的一个法向量为.
所以，则，
因为平面，所以平面.
法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且
，所以四边形是平行四边形，所以

又为中点，所以四边形是矩形，所以且
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为，
平面平面
平面平面，
所以平面平面，
平面，所以平面
【小问3详解】
法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，
所以到平面的距离与到平面的距离相等，
，所以，
所以点到平面的距离
所以到平面的距离为
法二：因为分别为和中点，所以为的重心，
所以，所以到平面的距离是到平面距离的.
取中点则，又平面
平面，所以平面，
所以到平面的距离与到平面的距离相等.
设点到平面的距离为，由
得，又，所以，
所以到平面的距离是，
所以到平面的距离为.
19、详见解析
【解析】利用反证法，即可推得矛盾.
【详解】假设有理数，则，则，
为整数，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则的尾数是0,2,8，由得，尾数为0，则的尾数是0，而的尾数为0或5，
这与为最简分数，的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，是无理数.
20、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；
（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.
【小问1详解】
解：由已知易得即为：，
令可得与，
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
【小问2详解】
解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以的取值范围是.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，
数列的通项为；
（2）数列的前项和，
由，化简得，即，.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
22、（1）；（2）最大值为.
【解析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为
设直线的斜率为k，则
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为
[方法四]参数+基本不等式法
由题可设
因，所以
于是，所以
则直线的斜率为
当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.