江苏省南通市如东高级中学2025年高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

江苏省南通市如东高级中学2025年高二数学第一学期期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，内角所对的边为，若，，，则（）
A. B.
C. D.
2．俗话说“好货不便宜，便宜没好货”，依此判断，“不便宜”是“好货”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．数列，则是这个数列的第（ ）
A.项 B.项
C.项 D.项
4．若圆与圆相外切，则的值为（）
A. B.
C.1 D.
5．设是数列的前项和，已知，则数列（ ）
A.是等比数列，但不是等差数列 B.是等差数列，但不是等比数列
C.是等比数列，也是等差数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列
6．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ）
A.4 B.2
C. D.
7．已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
8．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是
A. B.
C. D.
9．已知数列满足，且，则的值为（ ）
A.3 B.
C. D.
10．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
11．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
12．下列命题错误的是()
A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B.命题“若，则”的否命题为“若，则”
C.若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件
D.“ ”是“”的充分不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.
14．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____
15．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则直线l的斜率为______
16．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
18．（12分）已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若过点直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）
19．（12分）圆锥曲线的方程是.
（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.
20．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为，离心率为；
（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程；
（3）抛物线，过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2.
21．（12分）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
22．（10分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.
【详解】，，
由余弦定理得：，，.
故选：B.
2、A
【解析】将“好货”与“不便宜”进行相互推理即可求得答案.
【详解】根据题意，“好货”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好货”，所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.
故选：A.
3、A
【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项
【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.
故选：A.
4、D
【解析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.
【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
因为两圆相外切，所以，解得，
故选：D
5、B
【解析】根据与的关系求出通项，然后可知答案.
【详解】当时，，当时，，
综上，的通项公式为，

数列为等差数列
同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.
故选：B
6、B
【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.
【详解】依题意可得，设，
由得，
所以，，所以，，
因为为抛物线上一点，所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.
7、B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.
【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，

平行移动直线直线，
可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,
联立，解得，
当且仅当动直线即过点时，
取得最小值为，
故选：B
8、B
【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.
【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，
直线与抛物不相切，可得命题是假命题，
当时，，
方程表示椭圆
命题是真命题，
则是真命题.
故选:B.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.
9、B
【解析】根据题意，依次求出，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案.
【详解】因为数列满足，，所以，所以，，，可知数列具有周期性，周期为3，，所以.
故选：B
10、C
【解析】设，求导分析的单调性，又，，，即可得出答案
【详解】解：设，
则，
又因为，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
，
因为，
所以，
所以.
故选：C
11、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
12、C
【解析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.
【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；
或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.
【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减，
由已知可得，
由可得，可得.
故答案为：.
14、4
【解析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意得，
由抛物线的定义知：，
故答案为：4.
15、
【解析】如图，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，求得，从而得出直线的斜率
【详解】解：如图，当在第一象限时，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
由抛物线的定义可知：设，则，，，
在直角三角形中，，所以，
则直线的斜率；
当在第四象限时，同理可得，直线的斜率，综上可得直线l的斜率为；
故答案为：

16、4
【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.
【详解】由题意知：，，若，
∴，，
∴，而，则，而，
∴当时，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据勾股定理先证明，然后证明，进而通过线面垂直的判定定理证明问题；
（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.
【小问1详解】
∵，，∴，
∴，∵平面，平面，∴，
∵，，，∴平面.
【小问2详解】

以点为坐标原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，
由，，有
取，可得平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
由，，有
取，可得平面的一个法向量为，
所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义可得轨迹方程；
（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值
【小问1详解】
如图所示，
由已知得点为线段中垂线上一点，
即，
即动点到点的距离与点到直线的距离相等，
所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，
所以点的轨迹方程为，
【小问2详解】
如图所示：
设，点，，
联立直线与抛物线方程，得，，
，，
，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时，
即，
所以当直线直线，时取得最小值为.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
19、（1）且
（2）
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）由条件可得，解出即可.
【小问1详解】
若表示焦点在轴上椭圆，则，解得且
【小问2详解】
若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，进而结合求解即可得答案；
（2）设双曲线的方程为，进而结合题意得，，再结合解方程即可得答案；、
（3）根据题意设直线的方程为，进而与抛物线联立方程并消去得，再结合韦达定理得，进而得答案.
【小问1详解】
解：根据题意，设椭圆的标准方程为，
因为顶点为，离心率为，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
解：因为双曲线的一个焦点为，
设双曲线的方程为，
因为渐近线方程为，
所以，因为
所以，
所以双曲线的标准方程为
【小问3详解】
解：由题知抛物线的焦点为，
因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，
所以直线的方程为，
所以联立方程，消去得，
设，
所以，
因为线段AB的中点的纵坐标为2，
所以，解得.
所以抛物线的标准方程为.
21、（1），.
（2）5.
【解析】(1)根据数列的递推公式探求出其项间关系，由此求出的公比，进而求得，的通项公式.
(2)利用(1)的结论结合错位相减法求出，再将不等式变形，经推理计算得解.
【小问1详解】
解：设正项等比数列的公比为，当时，，即，
则有，即，而，解得，
又，则，所以，
所以数列，的通项公式分别为：，.
【小问2详解】
解：由(1)知，，
则，
则，
两式相减得：
于是得，
由得：，即，令，，
显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，
于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.
22、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，且，，
，，
又，
侧棱底面，，
，平面
（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，

设与平面所成角为，则
，
解得，故所求
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题