2026届山东省济宁市二中高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2026届山东省济宁市二中高二数学第一学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）

A.极差 B.方差
C.平均数 D.中位数
2．在四面体中，，，，且，，则等于（）
A. B.
C. D.
3．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（）
A.4 B.12
C.15 D.21
4．已知空间向量，，则（）
A. B.19
C.17 D.
5．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）
A. B.
C. D.
6．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A 1 B.2
C.4 D.8
7．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
9．等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
10．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数有极大值 和极小值
B.函数有极大值 和极小值
C.函数有极大值 和极小值
D.函数有极大值 和极小值
11．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则 的面积为（）
A. B.4
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
14．若平面法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________.
15．双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为______
16．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求异面直线与所成角余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角大小为?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
19．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点
（1）求双曲线方程；
（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程
20．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
21．（12分）已知等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，M是PB的中点，平面ABC，且，，.

（1）求证:平面PAC；
（2）求三棱锥M—ABC体积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.
【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；
甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；
甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；
甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；
故选：C.
2、B
【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：由题知，

故选：B.
3、B
【解析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.
【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.
故选：B
4、D
【解析】先求出的坐标，再求出其模
【详解】因为，，
所以，故，
故选：D.
5、D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.
【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.
故选：D
6、C
【解析】根据焦点弦的性质即可求出
【详解】依题可知，，所以
故选：C
7、B
【解析】，再根据函数的奇偶性和单调性可得或，解之即可得解.
【详解】解：，
由题意可得或
即或，解得或
故选：B.
8、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
9、C
【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算
【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.
又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，
＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，
所以＋＋＋＝2＋1＝3.
故选：C
10、D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
11、D
【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即
故选：D
12、C
【解析】设，根据题意，可知的方程为直线，根据原点到直线的距离建立方程，求出，进而求出，的值，以及到直线的距离，再根据面积公式，即可求出结果.
【详解】设，
由题意可知，其中，
所以的方程为，即
所以原点到直线的距离为，所以，即，；
所以直线的方程为，
所以到直线的距离为；
又，
所以 的面积为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.
【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，
于是得，
因，则当时，，
所以的最大值为.
故答案为：
14、##
【解析】设直线与平面所成角为，则，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线与平面所成的角
【详解】解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
，，
所以直线与平面所成角为.
故答案为：.
15、
【解析】根据双曲线离心率为，可得的值，进而可得双曲线焦点到一条渐近线的距离.
【详解】由双曲线离心率为，得，即，
故双曲线方程为，
焦点坐标为，渐近线方程为：，
故焦点到渐近线的距离为，
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.
【详解】连接，由于是圆的切线，所以.
在中，，
所以，所以，所以直线的斜率.
，
根据椭圆的定义可知.
故答案为：；

【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，点在线段上位于靠近点的四等分点处.
【解析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；
（3）假设存在点，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：，，为的中点，则且，
四边形为平行四边形，.
，即，，
又平面平面，平面平面，平面，平面
平面，平面平面.
【小问2详解】
解：，为的中点，.
平面平面，且平面平面，平面，
平面.
如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
，
，则，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
【小问3详解】
解：假设存在点，设，其中，
所以，，且，
设平面法向量为，所以，
令，可得，
由（2）知平面的一个法向量为，
二面角为，则，
整理可得，因，解得.
故存在点，且点在线段上位于靠近点的四等分点处.
18、（1）x2＝2y；
（2）证明见解析
【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.
【小问1详解】
∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，
∴|NF|＝，解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y；
【小问2详解】
依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.
则x1x2＝﹣2，∴.
故k1k2为定值.
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.
19、（1）
（2）或
【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【小问1详解】
解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为
【小问2详解】
解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴
综上所求直线l的方程为：或
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；
（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，
∴，
解得，
∴实数a的取值范围是；
【小问2详解】
解：命题，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，
∴，且两式等号不能同时取得，
解得，
∴实数m的取值范围是.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.
（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.
【小问1详解】
令公差为d，由得：，解得.
所以.
【小问2详解】
，则，
累加整理，得：，①
，②
②-①得：，
又满足上式，故.
22、（1）证明见解析（2）2
【解析】（1）依题意可得，再由平面，得到，即可证明平面；
（2）连接，可证，即可得到平面，为三棱锥的高，再根据锥体的体积公式计算可得；
【详解】（1）证明:因为是半圆的直径，所以.
因为平面，平面，所以，
又因为平面，平面，且
所以平面.
（2）解:因为，，所以，.连接.因为、分别是，的中点，所以，.又平面.所以平面.因此为三棱锥的高.所以.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题.