江西省赣县三中2025年高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

江西省赣县三中2025年高二数学第一学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
3．如图，在长方体中，，，则直线和夹角余弦值为（）

A. B.
C. D.
4．若是真命题，是假命题，则
A.是真命题 B.是假命题
C.是真命题 D.是真命题
5．已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A.2 B.3
C.6 D.9
7．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 圆 ，圆 若过原点的直线 与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（ ）

A. B.
C. D.
8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
9．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B.
C. D.
10．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.
14．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）
15．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

16．在等比数列中，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称
（1）求圆的方程；
（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围
18．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积
19．（12分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合A
（1）求m的值；
（2）当时，的值域为集合B，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围
20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求实数的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由
设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，___________，，，是否存在实数，对任意都有？
21．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点.
（1）若为线段的中点，证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

22．（10分）某校高三年级进行了一次数学测试，全年级学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若

（1）求a，b的值；
（2）若成绩落在区间内的人数为36人，请估计该校高三学生的人数
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.
【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，
的导数为，曲线在处的切线斜率，
因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，
所以，即解得，所以，解得，
故选：A
2、A
【解析】利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答
【详解】平行六面体中，M为与的交点，，，，
则有：
，
所以.
故选：A
3、D
【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：D.

4、D
【解析】因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.
考点：真值表的应用.
5、D
【解析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.
【详解】
对于A：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于B：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于C：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于D：记,则.
因为，所以点不在平面α上.
故选：D
6、C
【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
7、A
【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长
【详解】设过点的直线.由直线与圆 、圆 均相切，得 解得 (1).设点到直线的距离为 则 (2).又圆的半径直线截圆所得弦长 结合(1)(2)两式，解得
8、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9、C
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.
【详解】函数定义域为，求导得，
于是得函数的图象在点处切线的斜率，
而直线的斜率为，依题意，，即，解得，
所以.
故选：C
10、C
【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程
【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键
11、B
【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围.
【详解】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.
故选：B.
12、C
【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率.
【详解】椭圆，
由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，且，
由，消去并化简得，
设，，
则①，②，
由于，所以③，
由①②③解得
所以直线的方程为，斜率为.
故答案为：
14、 ①.6； ②..
【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论
【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，
由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，
即
所以
故答案为：6；
15、
【解析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有，
所以①，②，
根据椭圆的定义由，
所以路程

.
故答案为：
16、
【解析】利用等比数列性质和通项公式可求得，根据可求得结果.
【详解】，又，，.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.
（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.
【小问1详解】
由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，
设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，
所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为
【小问2详解】
连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，
在中，根据勾股定理可知，因为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；
画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；
设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，
所以，所以；
，所以.
所以

18、（1）
（2）4
【解析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.
（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，所以设圆心，
又圆与轴相切于点，所以，即
圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离，则，
又到直线的距离为，
所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；
（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.
【小问1详解】
解：因为幂函数在上单调递减，
所以，
解得.
【小问2详解】
由，得，
解得，
所以，
当时的值域为，
所以，
因为是成立的充分不必要条件，
所以是A的真子集，
，
解得.
20、答案见解析
【解析】由已知条件可得，假设时，取最小值，则，若补充条件是①，则可求得，代入化简可求出的取值范围，从而可求得答案，若补充条件是②，则可得，该数列是递减数列，所以不存在k，使得取最小值，若补充条件是③，则可得，代入化简可求出的取值范围，从而可求得答案，
【详解】解：等差数列的公差为d，
当时，，得，从而，
当时，
得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由对任意，都有，
当等差数列的前n项和存在最小值时，
假设时，取最小值，所以；
若补充条件是①，因为，，
从而，由得，
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，则，得，
又，所以.
所以，故实数的取值范围为
若补充条件是②，
由，即，又，
所以.
所以，
由于该数列是递减数列，所以不存在k，使得取最小值，故实数不存在
以下为严格的证明：
由等差数列的前n项和存在最小值，
则，得，
所以，所以不存在k，使得取最小值，故实数不存在
若补充条件是③，
由，得，
又，所以，
所以
由等差数列的前n项和存在最小值，则，
得，又，所以.
所以存在，使得取最小值，
所以，故实数的取值范围为
21、（1）证明见解析；
（2）存在点，且的长为，理由见解析.
【解析】（1）取的中点为，连接，得到，结合面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面；
（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得的法向量为和向量，结合向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点为，连接，
因为分别为的中点，所以，
又因为平面，且，
所以平面平面，
又由平面，所以平面.
【小问2详解】
解：以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底面是边长为2的菱形，设，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，因为，所以，
即，解得，
设，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，解得，即，
所以存在点，且的长为.

22、（1）
（2）人
【解析】（1）由频率分布直方图的性质求得，结合，即可求得的值；
（2）由频率分布直方图求得落在区间内的概率，进而求得该校高三年级的人数
【小问1详解】
解：由频率分布直方图的性质，可得：，
可得，
又由，可得解得；
【小问2详解】
解：由频率分布直方图可得，成绩落在区间内的概率为，
则该校高三年级的人数为（人）