2025年安徽省六安市卓越县中联盟数学高二第一学期期末检测试题含解析.doc

2025年安徽省六安市卓越县中联盟数学高二第一学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A.076 B.104
C.390 D.522
2．已知数列满足，则（ ）
A.2 B.
C.1 D.
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
4．已知函数，则下列判断正确的是（）
A.直线与曲线相切
B.函数只有极大值，无极小值
C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
5．若是等差数列的前项和，，则（）
A.13 B.39
C.45 D.21
6．圆与直线的位置关系为（）
A.相切 B.相离
C.相交 D.无法确定
7．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知，，且，则向量与的夹角为（）
A. B.
C. D.
9．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）
A. B.
C. D.1
10．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（ ）
A B.
C. D.
11．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
12．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.
14．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.

15．若，满足不等式组，则的最大值为________.
16．曲线在处的切线方程为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率
18．（12分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？
（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？
19．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代码
1
2
3
4
人均年纯收入y/百元
25
28
32
35

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）
参考公式：，
参考数据：，.
20．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一 200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距 20 分成 7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第 60 百分位数；
（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目， 求小明选中“技术”的概率
21．（12分）一个盒中装有编号分别为、、、的四个形状大小完全相同的小球.
（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率.
22．（10分）已知函数（…是自然对数的底数） .
（1）求的单调区间；
（2）求函数的零点的个数.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.
【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，
故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，
设，由题可知：，故可得，
故可得.
当时，.
故选：.
2、D
【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.
【详解】由条件，可知，两式相加可得，
即，所以数列是以周期为的周期数列，
.
故选：D
3、A
【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.
【详解】解：圆的圆心，，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：A.
4、C
【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.
【详解】，，令，得，所以，
因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；
当时，存在使，且当时，；
当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；
设为的极值点，则，且，
所以，，当时，
；当时，，
故C正确，D错误.
5、B
【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.
【详解】设等差数列的公差为d，则，则.
故选：B.
6、C
【解析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
7、A
【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断
【详解】解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.
8、B
【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.
【详解】，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为.
故选：B.
9、B
【解析】利用正弦定理求解.
【详解】在中，由正弦定理得，
解得，
故选：B.
10、D
【解析】根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.
【详解】圆的圆心是，
所以椭圆的一个焦点是，即c=3，
又椭圆的短轴长为8，即b=4，
所以椭圆长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，
故选：D
11、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
12、D
【解析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.
【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；
因为，所以B中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，解得，，
所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）众数；平均数，中位数.
（2）.
【解析】（1）按“众数，平均数，中位数”的公式求解.
（2）由频率分布直方图得到各区间的频率，再用古典概型求解.
【小问1详解】
众数取频率分布直方图中最高矩形对应区间的中点75；
平均数；
因为，
所以中位数在区间上，且中位数
【小问2详解】
由频率分布直方图得出在区间[40，50）和[90，100]内的成绩样本数据分别有4个和2个，从6个样本选2个共有个结果，
记事件A=“调查对象来自不同分组”，结果有
所以.
14、2
【解析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】解：因为

，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
15、10
【解析】
作出不等式区域,如图所示:
目标最大值,即为平移直线的最大纵截距,当直线经过点时最大为10.
故答案为10.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
16、
【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.
【详解】解：由，
得，
则，
即当时，，
所以切线方程为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意列方程组求解
（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解
【小问1详解】
，解得，故双曲线方程为
【小问2详解】
，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为
18、（1）81种；（2）24种；（3）64种
【解析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数.
（2）利用分步计数原理可求报名方法总数.
（3）利用分步计数原理可求报名方法总数.
【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有（种）报名方法
（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m项目有4种选法，400m项目有3种选法，800m项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有（种）
（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有（种）可能的结果
19、（1）散点图见解析；
（2），能够脱贫.
【解析】（1）直接画出点即可；
（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.
【小问1详解】
画出y关于x的散点图，如图所示：
【小问2详解】
根据表中数据，计算，
，
又因为，，
所以，
，
关于的线性回归方程，
当时，（百元），
估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.
20、（1）= 0.005
（2）232 （3）
【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，
（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第 60 百分位数在第4组内，设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，从而可求得结果，
（3）利用列举法求解即可
【小问1详解】
由(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + 0.0075 + + 0.0025) × 20 = 1，
解得 = 0.005
【小问2详解】
因为(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.6，(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125) × 20 = 0.7 > 0.6，
所以三科总分成绩的第 60 百分位数在[220，240)内，
设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，
解得 = 232，即第 60 百分位数为232
【小问3详解】
将物理、化学、生物、政治、技术 5 门学科分别记作 ．则

事件 A 表示小明选中“技术”，则 ，
所以 P(A)=
21、（1）基本事件答案见解析，概率为；（2）基本事件答案见解析，概率为.
【解析】（1）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的球的编号之和大于”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果；
（2）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】（1）记“从盒中任取两球，取出球的编号之和大于”为事件，
样本点表示“从盒中取出、号球”，且和表示相同的样本点（以此类推），
则样本空间为，则，
根据古典概型可知，
从盒中任取两球，取出球的编号之和大于的概率为；
（2）记“”为事件，
样本点表示第一次取出号球，将球放回，从盒中取出号球（以此类推），
则样本空间，
则，
所以，故事件 “”的概率为.
22、（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点.
【解析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数正负，求其单调区间；
（2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案
【详解】（1）因为，所以，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）显然0不是函数的零点，由，得.
令，则.
或时，，时，，
所以在和上都是减函数，在上是增函数，
时取极小值，
又当时，.
所以时，关于的方程无解，
或时关于的方程只有一个解，
时，关于的方程有两个不同解.
因此，时函数没有零点，
或时函数有且只有一个零点，
时，函数有两个零点.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数的零点，解题的关键是由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，考查数形结合的思想，属于中档题