2025年甘肃省天水市太京中学高二数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年甘肃省天水市太京中学高二数学第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知矩形 ，，，沿对角线将折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为（ ）
A. B.
C. D.
2．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
3．下列说法正确的是（ ）
A.空间中的任意三点可以确定一个平面
B.四边相等的四边形一定是菱形
C.两条相交直线可以确定一个平面
D.正四棱柱的侧面都是正方形
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5．已知空间向量，，若，则实数的值是（）
A. B.0
C.1 D.2
6．椭圆的两焦点之间的距离为
A. B.
C. D.
7．设a，b，c非零实数，且，则（）
A. B.
C. D.
8．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A. B.
C. D.
9．下列结论中正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A.6 B.12
C.56 D.78
11．圆关于直线l：对称的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
12．已知，，点为圆上任意一点，设，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______
14．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为____.
15．点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________.
16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
18．（12分）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切
（1）求该圆的方程；
（2）若直线x+ my -1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值
19．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
20．（12分）已知正项数列的前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：点（n，bn）在曲线y＝上，a1＝b4，___，数列{}的前n项和为Tn
从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出满足题意的k值；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理求出，证明出，再利用勾股定理可求得的长.
【详解】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，

因为，，，则，
因为，由等面积法可得，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，，
因为四边形为平行四边形，且，故四边形为矩形，所以，，
因为，所以，二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，，，则，，
因为，平面，平面，则，
，由勾股定理可得.
故选：C.
2、C
【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则
直线、的斜率，故与相交但不垂直
故选：C
3、C
【解析】根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.
【详解】对于A，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B错误；
对于C，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D错误.
故选：C
4、B
【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.
故选：B.
5、C
【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此有.
故选：C
6、C
【解析】根据题意，由于椭圆的方程为,故可知长半轴的长为,那么可知两个焦点 的坐标为，因此可知两焦点之间的距离为，故选C
考点：椭圆的简单几何性质
点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题
7、C
【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；
对于C：利用作差法证明.
【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；
对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；
故选：C.
8、A
【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
9、D
【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.
【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；
C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.
故选：D
10、D
【解析】由等比数列的性质直接求得.
【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：
由，解得：；
由可得：，
所以.
故选：D
11、A
【解析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
12、C
【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.
【详解】解：由点为圆上任意一点，
可设，
则，
由，得，
所以，则，
则，其中，
所以当时，取得最大值为22.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】由数列的前项和为，则当时，，
所以，
所以数列的前和为，
当时，，
当时，，
所以满足的最小的值为.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
14、
【解析】由已知找到异面直线所成角的平面角，再运用余弦定理可得答案.
【详解】解：设BD的中点为O，连接EO，FO，所以，则∠EOF（或其补角）就是异面直线AD，BC所成的角的平面角，
又因为EO=AD=1，FO=BC=，EF=.根据余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，异面直线AD与BC所成角的大小为30°.
故答案为：30°.

15、
【解析】设出点和三角形的重心，利用重心坐标公式得到点和三角形的重心坐标的关系，，代入椭圆方程即可求得轨迹方程，再利用，，三点不共线得到.
【详解】设，，
由，得，
即，，
因为为的重心，
所以，，
即，，
代入，得，
即，
因为，，三点不共线，所以，
则的重心的轨迹方程是.
故答案：.
16、
【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
，
∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；
当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
证明：因为时，证明，只需证明，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以.
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
所以时， ，
所以当时，
18、（1）
（2）0
【解析】（1）设出圆心坐标，利用题干条件得到方程，求出，从而求出该圆的方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.
【小问1详解】
设圆心为，，
则由题意得：，
解得：或（舍去），
故该圆的方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
解得：
19、（1）；（2）存在，，.
【解析】（1）根据椭圆E： （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.
【详解】（1）因为椭圆E： （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，
所以，解得，
所以，
所以椭圆E的方程为.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，
设该圆的切线方程为，联立得，
则△=，即
，
，，
要使，需使，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以，即或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，
所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，
综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.
因为，
所以，

，
①当时，，
因为，所以，所以，
所以，当且仅当时取”=”.
② 当时，.
③ 当AB的斜率不存在时， 两个交点为或，所以此时，
综上， |AB |的取值范围为，即：
【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (k为直线斜率)
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零
20、（1）
（2）
【解析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；
小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和
【小问1详解】
当时，，.
当时，，…①，，…②
①②得：，
即：.
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
；
【小问2详解】
由（1）可知，则
，…①
两边同乘得：，…②
①②得：
，
.
21、（1）条件选择见解析；an＝2n，bn＝25﹣n.
（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）把点（n，bn）代入曲线y＝可得到bn＝25﹣n，进而求出a1，设等差数列{an}的公差为d，
选①S4＝20，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选②S3＝2a3，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选③3a3﹣a5＝b2，利用等差数列的通项公式公式可求出d，从而得到an；
（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣，不等式无解，即不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
【小问1详解】
解：∵点（n，bn）在曲线y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
若选①S4＝20，则S4＝＝20，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选②S3＝2a3，则S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，
∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选③3a3﹣a5＝b2，则3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，
∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
【小问2详解】
解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），
∴＝＝，
∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，
假设存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞，
∴，即，此不等式无解，
∴不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
22、（1）（2）
【解析】（1）根据题意可得，，再由 ，即可求解.
（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出 ，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.
【详解】解（1）由题意得：，，∴ ，
∴
∴椭圆的方程为
(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为
与椭圆的方程联立可得：①
设两点的坐标为，由韦达定理得：
，
∴
点到直线的距离，
∴
由①知：， ，
令，则，∴
令，则 在上的最大值为
∴的最大值为
综上所述：三角形面积的最大值2.
【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.