日喀则市重点中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

日喀则市重点中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的流程图，则输出k的值为（）

A.3 B.4
C.5 D.2
2．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.双曲线的一支
3．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（ ）

A. B.
C. D.
5．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）
A. B.
C. D.
6．平行六面体中，若，则（ ）
A. B.1
C. D.
7．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
甲
9
8
16
15
15
14
乙
7
8
13
15
17
22
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）
A.， B.，
C.， D.，
8．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
9．函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
10．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
11．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）

A.30m B.
C. D.
12．设数列、都是等差数列，若，则等于（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若圆与圆相交，则的取值范围是__________.
14．已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为____________
15．下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_______ .
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
4
3
2.5

16．两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为
（1）解出这六个根；
（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，E为BP的中点，，

（1）证明：平面PAD；
（2）求平面EAC与平面PAC夹角的余弦值
19．（12分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
20．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
21．（12分）已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）已知函数，其中为实数.
（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据程序框图运行程序，直到满足，输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入，
则，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，满足，输出结果：
故选：B.
2、A
【解析】依据定义法去求动圆的圆心的轨迹即可解决.
【详解】设动圆的半径为r,
又圆半径为1，圆半径为8，
则，，
可得，又
则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆.
故选：A
3、B
【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为
故选：B.
4、D
【解析】根据图知分别得到椭圆、、的半长轴和半短轴，再由求解比较即可.
【详解】由图知椭圆的半长轴和半短轴分别为： ，
椭圆的半长轴和半短轴分别为：，
椭圆 的半长轴和半短轴分别为：，
所以，
，
，
所以，
故选：D
5、B
【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.
【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即
故选：B.
6、D
【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.

7、B
【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.
【详解】依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
8、D
【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.
【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故选：D
9、A
【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.
【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；
因为，所以排除D；
因为，所以排除C，
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
11、D
【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【详解】由题设知：，

又，
△中，可得，
在△中，，则.
故选：D
12、A
【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】设等差数列的公差为，即，
由于数列也为等差数列，则，
可得，即，
可得，即，解得，
所以，数列为常数列，对任意的，，
因此，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
圆，即的圆心为，半径为，
由于两圆相交，故，即，
解得，即的取值范围是，
故答案为：
14、
【解析】设两条曲线交点为根据椭圆和抛物线对称性知，不妨点A在第一象限，由A在抛物线上得，A在椭圆上得
.则由条件得：
.解得（舍去）
15、25
【解析】根据表格数据求出，代入，即可求出.
【详解】解：由题意知：，
，
将代入线性回归方程，
即，
解得：.
故答案为：5.25.
16、13
【解析】先根据妹妹的销售量的平均数为14，求得y,进而得到其众数，然后再根据姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，得到姐姐的销售量的中位数.
【详解】因为妹妹的销售量的平均数为14，
所以，
解得，
由茎叶图知：妹妹的销售量的众数是14，
因为姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，
所以姐姐的销售量的中位数是16，
所以，解得，
所以，
故答案为：13

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；
（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可
【小问1详解】
由题意，

当时，设
故，
所以
解得：，即
当时，设
故
所以
解得：，即
故：
【小问2详解】
六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，
其中
在复平面中描出这六个点如图所示：

六个点构成的图形为正六边形，边长为1
故
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过作辅助线，构造平行四边形，在平面PAD找到线并证明，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面EAC与平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.
【小问1详解】
证明：取PA的中点F，由E为PB的中点，
则，，
而，，
所以且，则四边形CDFE为平行四边形，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD
【小问2详解】
∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD两两垂直，
以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，，
设平面APC的法向量为，由，，
有，取，则，，即，
设平面EAC的法向量为，由，，
有，取，则，，即，
所以，
由原图可知平面EAC与平面PAC夹角为锐角，
所以平面EAC与平面PAC夹角的余弦值为
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，
（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则，令，则，
∵平面，
∴∥平面.
【小问2详解】
，
设平面的法向量为，
则，令，则.
∴.
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面的夹角为.

20、（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案；
（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.
【小问2详解】
，…①
…②
①-②得
，.
22、（1）
（2），
【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.
【小问1详解】
，
.
由题意得：，解得：.
，
【小问2详解】
，则，解得，
，
，
当，解得：，即函数在单调递减，
当，解得：或，
即函数分别在，递增.
又，，，，
，.