黑龙江省大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

黑龙江省大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线
C.线段 D.圆
2．设集合或，，则（）
A. B.
C. D.
3．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
4．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
5．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
6．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A.44 B.
C.66 D.
7．设，则“”是“直线与直线”平行的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
8．抛物线的焦点坐标
A. B.
C. D.
9．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
10．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）
A.510 B.126
C.256 D.512
11．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（ ）
A.2 B.3
C. D.
12．下列有关命题的表述中，正确的是（）
A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题
B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题
C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______
14．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.
15．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.
16．已知数列的前n项和，则其通项公式______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.

（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
18．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列
19．（12分）在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值
20．（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.
21．（12分）已知圆与x轴交于A，B两点，P是该圆上任意一点，AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点.
（1）若弦AP长为2，求直线PB的方程；
（2）以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.
22．（10分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.
（1）求的公比；
（2）求的通项公式及前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.
【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.
故选：
2、B
【解析】根据交集的概念和运算直接得出结果.
【详解】由题意知，
.
故选：B.
3、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
4、C
【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解.
【详解】双曲线，令，则，显然，
则一条渐近线方程为，
绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，
则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，
故渐近线方程的倾斜角为120°，即，
该函数在区间上存在最小值，可知，
所以，
所以.
故选：C
5、C
【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.
【详解】解：抛物线的准线为
因为在抛物线的准线上

故其焦点为
故选：
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.
6、D
【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.
【详解】因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，
则,
故选：.
7、D
【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断
【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；
反之，两直线平行时，，解得或，
由上知时，两直线不平行，
时，两直线方程分别为，，平行，
因此，本题中也不是必要条件
故选：D
8、B
【解析】由抛物线方程知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为 ，所以选B
9、A
【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为
故选：A
10、B
【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，可得，
解得，
所以数列前6项的和.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11、A
【解析】设，则，解方程可得结果.
【详解】设，则且，
所以，所以，
所以，所以或（舍）.
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：设是解题关键.
12、C
【解析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.
【详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，
若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；
选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，
当，即为无理数，但是有理数，故B错误；
选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；
选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，
由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.
故答案为：.
14、0
【解析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以求导得，
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,
故答案为：.
15、
【解析】利用正弦定理求得甲驱逐舰与乙护卫舰的距离.
【详解】，
设甲乙距离，由正弦定理得.
故答案为：

16、
【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.
【详解】当时，，
当时，不适合上式，
∴，
故答案为:.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；
（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.
【小问1详解】
由已知得：,
平面，
又平面,
在中，,由余弦定理得：，
，即，平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，

，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则与，
即与,..
,
观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；
(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.
【小问1详解】
设等差数列的公差为()，由成等比数列，
得，又，所以，
解得，所以；
【小问2详解】
由(1)可得，所以，
有，故，
又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.
19、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程.
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用中点坐标公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
【小问1详解】
解：过点的直线的参数方程为为参数），转换为普通方程为，即直线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，即，根据，转换为直角坐标方程为，即曲线的直角坐标方程
【小问2详解】
解：把代入，整理得，
所以，设，，；
故，代入，解得，
故中点坐标为；
把直线的参数方程为为参数）代入，设和对应的参数为和，
得到，
整理得，
所以
20、（1）；（2）最大值为.
【解析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为
设直线的斜率为k，则
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为
[方法四]参数+基本不等式法
由题可设
因，所以
于是，所以
则直线的斜率为
当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
21、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；
（2）根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可.
【小问1详解】
在方程中，令，解得，或，
因为AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点，所以
，圆心在x轴上，所以，
因为，，所以有，
当P在x轴上方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：
，
当P在x轴下方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：
，
因此直线PB的方程为或；
【小问2详解】
由（1）知：，，
所以设直线的斜率为，因此直线的斜率为，
于是直线的方程为：，令，，即
直线的方程为：，令，，即，
因为同号，
所以，当且仅当时取等号，
即当时取等号，
于是有以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，此时最小，
当时，和，中点坐标为：，半径为，
所以圆的方程为：，
同理当时，和，中点坐标为：，半径为，
所以圆的方程为：，
综上所述：圆C的方程为.
22、（1）
（2），
【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；
（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设数列公比为，
因为为的等差中项，可得，即，
即，解得或（舍去），
所以等比数列的公比为.
【小问2详解】
解：由（1）知且，可得，
所以.