2025-2026学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025-2026学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中高二数学第一学期期末考试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．数列的通项公式是（）
A. B.
C. D.
3．等比数列的各项均为正数，且，则=（）
A.8 B.16
C.32 D.64
4．已知函数，若对任意的，，且，总有，则的取值范围是（）
A B.
C. D.
5．计算复数：（ ）
A. B.
C. D.
6．若函数恰好有个不同的零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是
A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学
C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：50
8．已知向量，，且与互相垂直，则（）
A. B.
C. D.
9．已知两个向量，若，则的值为（）
A. B.
C.2 D.8
10．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）
A.14 B.16
C.18 D.20
11．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为F，A，离心率为，且，则n的值为（ ）
A.4 B.3
C.2 D.
12．执行下图所示的程序框图，则输出的值为（）

A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）
14．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.
15．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.

16．已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
18．（12分）已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，，求的面积
19．（12分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前n项和.
20．（12分）已知抛物线C:
（1）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点
21．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.

（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
22．（10分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.

（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.
【详解】∵ ，
∴ （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
∴ （当且仅当时等号成立），
若，则，
∴ ，
所以“”是“”的充分条件，
当时，，此时，
∴“”不是“”的必要条件，
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2、C
【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.
【详解】依题意，数列的前几项为：；
；
；
……
则其通项公式.
故选C.
【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.
3、B
【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：B.
4、B
【解析】根据函数单调性定义、二次函数性质及对称轴方程，即可求解参数取值范围.
【详解】依题意可得，在上为减函数，则，即的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查函数单调性定义，二次函数性质，属于基础题.
5、D
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.
【详解】
故选：D.
6、D
【解析】分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】令，可得，构造函数，其中，
由题意可知，直线与函数的图象有个交点，
，由，可得或，列表如下：

增
极大值
减
极小值
增
所以，，，
作出直线与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点.
故选：D.
7、B
【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.
【详解】据题意：
总体是1100名同学的总成绩，故A正确
个体是每名同学的总成绩，故B错
样本是50名同学的总成绩，故C正确
样本容量是：50，故D正确
故选：B
【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.
8、D
【解析】根据垂直关系可得，由向量坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，又与互相垂直，
，解得：.
故选：D.
9、B
【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.
【详解】因为，所以，即，解得.
故选：B
10、B
【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.
【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：B
11、B
【解析】根据椭圆方程及其性质有，求解即可.
【详解】由题设，，整理得，可得.
故选：B
12、C
【解析】直接按照程序框图运行即可得正确答案.
【详解】当时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，成立，输出的值为，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、24
【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.
【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，
2022年的投入在结算时的收入为，
，
2030年的投入在结算时的收入为，
则结算时的总投资及收益为：
①，
则②，
由①-②得，
，
则
，
故答案为：24
14、
【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.
【详解】直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即的外心为，
所以，的外接圆的半径为，
因此，的外接圆方程为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式
15、50
【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.
【详解】第五组的频率为，
第一组所占的频率为，
则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.
故答案为：50.
16、
【解析】根据中点坐标公式求出，再根据直线的两点式方程即可得出答案.
【详解】解：由，，
得线段的中点坐标为，
所以，解得，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
因为，，则，
又因为，解得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
解：由，可得，
则，
所以.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题可得，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；
（2）由题可得直线方程为，联立椭圆方程可得点P，利用三角形的面积公式，即求.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
19、（1）
（2）
【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；
(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.
【小问1详解】
三点共线，

【小问2详解】

①
②
①—②得

20、（1）
（2）见解析
【解析】（1）由抛物线的定义，可得点的坐标；
（2）可设直线的方程为，，，，与抛物线联立，消，利用韦达定理求得，，再根据，可得，从而可求得参数的关系，即可得出结论.
【小问1详解】
解：设，，由抛物线的定义可知，即，
解得，
将代入方程，
得，
即的坐标为；
【小问2详解】
证明：由题意知直线不能与轴平行，
可设直线的方程为，
与抛物线联立得，消去得，
设，，，
则，，
由，可得，
即，即，
即，又，
解得，
所以直线方程为，当时，，
所以直线过定点
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；
（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.
【小问1详解】
由已知得：,
平面，
又平面,
在中，,由余弦定理得：，
，即，平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，

，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则与，
即与,..
,
观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.
22、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点
（2）答案见解析
【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；
（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.
【小问1详解】
根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，
则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.
【小问2详解】
解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；
如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，

，
由抛物线定义知：，
当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.