2026届山西省晋中市平遥二中数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2026届山西省晋中市平遥二中数学高二第一学期期末调研模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
2．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）
A.72号 B.150号
C.256号 D.300号
3．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.30°或60°
C.60° D.120°
4．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.
C. D.
5．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
甲
9
8
16
15
15
14
乙
7
8
13
15
17
22
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）
A.， B.，
C.， D.，
6．已知实数，满足，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
7．设、是向量，命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）

A. B.
C. D.
10．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A. B.7
C.6 D.
12．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等比数列中，若，是方程两根，则________.
14．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.
15．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________；若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.
16．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF

（1）证明：AB⊥CF；
（2）求点C到平面BEF距离；
（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值
18．（12分）共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
（1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
（2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
19．（12分）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值：
（1）
（2）
20．（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.
（1）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?
（2）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.
21．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，

（1）求证：∥平面PCD；
（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图：

其中平面，，则该四面体的体积为.
故选：A.
2、B
【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.
【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本
∴，即每隔16人抽取一人
∵54号被抽到
∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B
故选：B
3、B
【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小
【详解】如图，

取AD中点为G，连接GF、GE，
易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，
故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，
故∠EGF＝60°或120°
故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，
当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，
当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，
∴EF和AC所成的角等于30°或60°
故选：B
4、B
【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.

因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
故选：B.
5、B
【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.
【详解】依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
6、A
【解析】将化成，即可求出的最小值
【详解】由可化为，所以，解得，因此最小值是
故选：A
7、C
【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.
【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.
故选：C.
8、B
【解析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】解：根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
9、C
【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.
【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F
∵平面平面ABC，平面 ACDE平面ABC=AC，平面 ACDE，
∴平面ABC
∴
∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，
∴
以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系

则，，，
设平面ABD的单位法向量
，，
由解得
取，则
∴点C到平面ABD的距离.
故选：C
10、D
【解析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D
11、A
【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想
12、D
【解析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，
又由，，所以，，可得，
又由，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14、 ①. ②.
【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.

.
故答案为： ；
15、 ①. ②.3
【解析】由渐近线方程知，结合双曲线参数关系及离心率的定义求双曲线的离心率，由已知可得右焦点为，应用点线距离公式求距离.
【详解】由题设，，则，
当时，，则双曲线为，故右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离为.
故答案为：，3.
16、
【解析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.
【详解】
由题得，所以直线经过定点，
圆的圆心为，半径为.
圆心到定点的距离为，
当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.
(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.
(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.
小问1详解】
在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，
，即，有，则，即，
因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，
于是得平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
因四边形ACEF为正方形，即，由(1)知两两垂直，
以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
而，于是得点C到平面BEF的距离，
所以点C到平面BEF的距离为.
【小问3详解】
由(2)知，，设平面的一个法向量，
则，令，得，
，设平面BEF与平面ADF夹角为，，
则有，，
所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算
18、（1）；
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；
（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.
【小问1详解】
因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.
记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.
【小问2详解】
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列为

0
1
2
3

数学期望.
19、（1）a=4或a= -2
（2）a=
【解析】（1）根据，由a(a-2)-2×4=0求解；
（2）根据，由4a= -2(a-2）求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以a(a-2)-2×4=0，
解得a=4或a= -2
所以当时，a=4或a= -2；
【小问2详解】
因为，
所以4a= -2(a-2），解得a=
检验：此时，，成立
所以当时，a=.
20、（1）
（2）120
【解析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；
（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.
【小问1详解】
根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，
当时，则轮船返港的直线为，
因为没有触礁危险，所以原点到的距离，
解得.
【小问2详解】
根据题意可得，，点C在直线上，故点C，
设轮船返港的直线是，则，
所以.当且仅当时取到最小值.
21、 (1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
22、（1）详见解析；
（2）
【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.
【小问1详解】
证明：如图所示：

取PD的中点E，连接ME，CE，
因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以∥平面PCD；
【小问2详解】
建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面MBC的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面ABCD的一个法向量为：，
所以，
所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.