2025年新疆沙湾一中高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年新疆沙湾一中高二数学第一学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为
A. B.
C. D.
2．设点是点，，关于平面的对称点，则（）
A.10 B.
C. D.38
3．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A.72元 B.300元
C.512元 D.816元
4．倾斜角为120°，在x轴上截距为－1的直线方程是（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
5．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条
A.0 B.1
C.2 D.3
6．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）
A. B.
C. D.
9．设，，，…，，，则（）
A. B.
C. D.
10．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）

A. B.
C. D.
11．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）
A.2 B.4
C.8 D.9
12．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A.1 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设抛物线的准线方程为__________.
14．将边长为2 的正方形 绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.
15．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______
16．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
（1）求C的方程：
（2）过C上一动点P作圆两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.
18．（12分）等差数列中，首项，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
19．（12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
21．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
22．（10分）已知为各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设，则，.
所以当时，的最小值为.
故选D.
2、A
【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长
【详解】点是点，，关于平面的对称点，
的横标和纵标与相同，而竖标与相反，
，，，
直线与轴平行，
，
故选：A
3、D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价
【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元
故选：D
4、D
【解析】由倾斜角求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式
【详解】由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.
又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－ (x＋1)，即x＋y＋＝0.
故选：D.
【点睛】本题考查直线方程的斜截式，属于基础题
5、D
【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.
【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，
由消去y并整理得：，则，解得或，
因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，
所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.
故选：D
6、C
【解析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】已知，若，即，解得.
若数列是单调递增数列，对任意的，，即，
所以，对任意的恒成立，故，
因此，“”是“是单调递增数列”充要条件.
故选：C.
7、C
【解析】利用函数在上单调递减即可求解.
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以若，，则；
反之若，，则.
所以若，则“”是“”的充要条件，
故选：C.
8、A
【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.
【详解】因为，所以，
则
故复数的虚部为.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.
9、B
【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.
【详解】，，
，，
，……，以此类推，
，所以.
故选：B
10、A
【解析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，
又因为为的中点，所以，
所以，
故选：A.
11、C
【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12、C
【解析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.
【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，
因为，，，
由抛物线的定义可知：，，，所以，
直线斜率为：.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.
【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线方法，属于基础题.
14、
【解析】依题意可得圆柱的底面半径、高，再根据圆柱的体积公式计算可得；
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高，所以；
故答案为：
15、
【解析】根据题意得到，进而得到，求得的值，即可求解.
【详解】因为为线段的中点，所以，
所以，
又因为，所以，所以
故答案为：.
16、
【解析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合结合直线方程求解点P的坐标即可.
【详解】点A(1,3)关于x轴的对称点为A ′(1，－3)，如图所示，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求

直线A′B的方程是y＋3＝(x－1)，
即.
令y＝0，得x＝13
则点P的坐标是.
【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)根据抛物线方程求出交点坐标和准线方程，求出p即可；
(2)设，利用两点坐标求距离公式求出，根据四边形PAMB的面积得到关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得出结果.
【小问1详解】
因为C的焦点为，准线为，
由题意得，即，因此.
【小问2详解】
圆M的圆心为，半径为1.
由条件可知，，且，
于是.
设，则.
当时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；
（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.
【小问1详解】
因为成等比数列，所以
即，解得，所以；
【小问2详解】
因为，
，
，

19、（1）
（2）
【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
【小问1详解】

，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.
20、（1）（2）
【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积
【详解】（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以
所以的斜率为，解得，此时方程①为
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：距离，
所以△的面积
考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；
（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.
【小问1详解】
解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.
因为点在G上，所以，
所以，.
所以椭圆G的方程是.
【小问2详解】
解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，
将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，
则，.
因为，所以，则，即，
由，得，.
所以，解得，即，
所以直线l的方程为.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式；
（2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案.
【小问1详解】
设等比数列公比为q,,,，（负值舍去），所以.
【小问2详解】
，
，
所以，
解得：.