安徽省”皖南八校“2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

安徽省”皖南八校“2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（）.
A. B.
C. D.
3．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（ ）

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5．已知实数，满足约束条件则的最大值为（）
A.10 B.8
C.4 D.20
6．在等比数列中，若是函数的极值点，则的值是（）
A. B.
C. D.
7．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）
A. B.
C. D.
8．已知数列满足，且，则（）
A.2 B.3
C.5 D.8
9．数列满足，，，则数列的前8项和为（）
A.25 B.26
C.27 D.28
10．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）
A. B.
C. D.
11．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
12．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若恒成立，则______.
14．已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.
15．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______
16．正四棱柱中，，，点为底面四边形的中心，点在侧面四边形的边界及其内部运动，若，则线段长度的最大值为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），

其中样本数据分组区间
（1）求频率分布直方图中a的值：
（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
18．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望
19．（12分）设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.
（1）求对角线所在直线的一般方程；
（2）求所在直线的一般方程.
21．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的75%分位数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例
22．（10分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的
（1）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？
（2）这个飞机模型上升的最大高度能超过米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过米；如果不能，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
2、A
【解析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
3、A
【解析】根据的方向向量求得斜率.
【详解】且是直线的方向向量，.
故选：A
4、B
【解析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.
【详解】
如图，构造出长方体，取中点，连接
则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，
当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，
即与面所成角从75°→90 °→15°→90 °→75°变化，
此过程中，有两次角为30 ，
综上，这样的平面α有2个，
故选：B.
5、A
【解析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出
向可行域平移即可求解.
【详解】作出可行域，如图所示

转化为，令则，
作出直线并平移使它经过可行域点，经过时，
，解得，所以
此时取得最大值，即有最大值，即
故选：A.
6、B
【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是函数的极值点，因为，
且
所以，
故选：B
7、B
【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【详解】根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
8、D
【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.
【详解】因为
所以，，，.
故选：D
9、C
【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.
【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.
故选：C
10、C
【解析】根据导数的定义即可求解.
【详解】.
故选：C.
11、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
12、A
【解析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】由于M是的中点，
所以

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】利用导数研究的最小值为，再构造研究其最值，即可确定参数a的值.
【详解】令，则且，
当时，递减；当时，递增；
所以，即在上恒成立，
令，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，
综上，.
故答案为：1
14、##
【解析】根据截距定义，分别令，可得.
【详解】由直线，令得，即
令，得，即，
故.
故答案为：
15、-2
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.
【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径
圆C与直线相交于、两点,且，
由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，
由点到直线距离公式得，
所以，解得，
故答案为：.
16、
【解析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】当位于点时，
因为是正方形，所以，
由正四棱柱的性质可知，平面，因为平面，
所以，因为平面，
所以平面，平面，
所以，因此当位于点时，满足题意，
当点位于边点时，若，在矩形中，
,
因为，
所以，因此，
所以有，此时，
又平面，
所以平面，故点的轨迹在线段上，
，
所以线段长度的最大值为.
故答案为：

关键点睛：利用特殊点判断出点的轨迹是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）众数；中位数
【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；
（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.
【小问1详解】
由,得
【小问2详解】
50名学生竞赛成绩的众数为
设中位数为,则
解得
所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
18、（1）
（2）分布列见解析；
【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【小问1详解】
名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
【小问2详解】
由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：

数学期望为
19、（1），；
（2）答案见解析.
【解析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.
(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
【小问2详解】
由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
列表得：
x

-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）首先求的中点，再利用垂直关系求直线的斜率，即可求解；
（2）首先求点的坐标，再求直线的斜率，求得直线的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.
【小问1详解】
由和得：中点
四边形为菱形，
，
且中点，
对角线所在直线方程为：，
即：.
【小问2详解】
由，
解得：，
，
，
，
直线的方程为：，
即：.
21、（1）20人（2）
（3）
【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
【小问3详解】
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为
22、（1）；
（2）不能，理由见解析.
【解析】（1）由题得每分钟上升的高度构成等比数列，再利用等比数列的通项求解；
（2）求出即得解.
【小问1详解】
解：由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，
则米.
即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米.
【小问2详解】
解：不能超过米.
依题意可得，
所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过米.