2025-2026学年北京八中高二上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年北京八中高二上数学期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
2．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（）
A. B.
C. D.
3．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）
A.336 B.467
C.483 D.601
5．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）

A.直方图中a的值为0.40
B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54
D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为18
7．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
8．已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　）
A.（-1，0） B.（1，4）
C.（0，6） D.（-1，5）
9．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（）
A. B.
C. D.
10．已知数列满足，则（）
A. B.
C. D.
11．点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
12．（5分）已知集合A={x|−2<x<4}，集合B={x|(x−6)(x+1)<0}，则A∩B=
A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}
C.{x|−2<x<−1} D.{x|−1<x<4}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.
14．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是_______________
15．若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.
16．已知向量，，若，则实数m的值是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）圆心在轴正半轴上、半径为2的圆与直线相交于两点且.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.
18．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
19．（12分）已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.
①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）
（1）求抛物线的标准方程；
（2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点
21．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
（1）求圆C的标准方程.
（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
22．（10分）已知数列满足，，，n为正整数.
（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；
（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；
（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.
【详解】解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；
对于选项B：若，则，故选项B错误；
对于选项C：当时不满足，故选项C错误；
综上，可知选项D正确.
故选：D.
2、D
【解析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.
【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，
则，即，解得：，
，，解得：.
故选：D.
3、A
【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可
解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件
故选A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
4、B
【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.
【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，
所以

该数列的第31项为.
故选：B
5、B
【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析
【详解】对于A：，因此A不满足题意；
对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；
对于C：，故C不满足题意；
对于D：显然有，选项D不满足题意.
故选：B
6、D
【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，解得，A选项正确.
众数为，B选项正确.
成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.
成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.
故选：D
7、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
8、D
【解析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.
【详解】解：设，AB的中点，则，所以，
又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，
因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，
又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，
整理得，即，解得，
所以点B的横坐标的取值范围是，
故选：D.
9、D
【解析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.
【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则
故选：D
10、D
【解析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.
【详解】因，则，
所以，
所以.
故选：D
11、B
【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.
【详解】由点到直线距离公式得
故选：B
12、D
【解析】由(x−6)(x+1)<0，得−1<x<6，从而有B={x|−1<x<6}，所以A∩B={x|−1<x<4}，故选D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】，当时，，
所以切线方程为，即；
令可得，令可得；
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
14、
【解析】由题意，,.
故答案为.
15、
【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.
【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，
故答案为：.
16、
【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；
（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.
小问1详解】
因为圆的圆心在轴正半轴上、半径为2，
所以设方程为：，圆心，
设圆心到直线的距离为，
因为，
所以有，或舍去，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：，圆的半径为，
因为直线，所以设直线的方程为，
因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，
当两平行线间的距离为，于是有：，
当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；
当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，
此时直线的方程为.
当两平行线间的距离为，于是有：，
当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；
当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，
此时直线的方程为.
故直线方程为或.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可算出，即可证明，选②证①，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出.
【小问1详解】
由条件可得，解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
选①证②：当直线的斜率存在时，设：，
由得，则，
由得
即，即
所以
代入
所以
所以
解得：（舍去），
所以直线过定点
当直线斜率不存在时，设：
所以，由得
所以，即，解得
所以直线（不符合题意，舍去）
综上：直线过定点
选②证①：由题意直线的斜率存在，设：
由得
则，
所以
.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由点在抛物线上可得出，再利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设点、，利用斜率公式结合已知条件可得出的值，分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：抛物线的焦点为，由已知可得，则，
，，解得，
因此，抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：设点、，则，可得.
若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，可得，此时，合乎题意.
所以，直线的方程为，故直线恒过定点.
21、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.
（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为
由题意可得解得，，.
故圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设，.联立
整理的
，则，，
故.
因为以AB为直径的圆过原点，所以，
即
则，
化简得.
当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.
所以，则，则直线过定点.
22、（1）证明见解析；
（2）证明见解析 （3）
【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；
（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；
（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.
【小问1详解】
由已知可知，显然有 ，否则数列不可能是等比数列；
因为，，故可得 ，
由 得： ，
即有 ，所以数列等比数列，
且 ；
【小问2详解】
假设存在，，成等差数列，
则 ，即，
整理得，即 ，
而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，
故数列中的任意三项，，都不成等差数列；
【小问3详解】
关于正整数n的不等式，即，
当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，
并且当 时，，
因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，
故 .