广东深圳平湖外国语学校2025-2026学年数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

广东深圳平湖外国语学校2025-2026学年数学高二上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
2．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
4．已知点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）
A.-1 B.1
C.-3 D.3
6．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）.
A. B.
C. D.
7．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（ ）
A.21 B.26
C.31 D.36
8．经过点作圆的弦,使点为弦的中点，则弦所在直线的方程为
A. B.
C. D.
9．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
11．设命题，则为
A. B.
C. D.
12．设直线的倾斜角为，且，则满足
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.
14．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________
15．已知等差数列的前n项和为，，，则______
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1所示，在四边形ABCD中，，，，将△沿BD折起，使得直线AB与平面BCD所成的角为45°，连接AC，得到如图2所示的三棱锥

（1）证明：平面ABD平面BCD；
（2）若三棱锥中，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积
18．（12分）已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元.
（1）求的值；
（2）如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？
19．（12分）在正方体中，、、分别是、、的中点

（1）证明：平面平面；
（2）证明：
20．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍

（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；
（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
21．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
22．（10分）如图长方体中，，，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.
故选：D.
2、A
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.
【详解】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
3、C
【解析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切
【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切
故选：C
4、C
【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值，再减去半径即可.
【详解】设，由圆心，得，
∴时，，∴
故选：C.
5、B
【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.
【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以且，即.
故选：B.
6、A
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，

由到渐近线的距离为，
所以，又，所以，
因为，
所以，整理可得：，
即，所以，可得，所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：A.
7、B
【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.
【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，
则第一编号为006，第二个编号为.
故选：B.
8、A
【解析】由题知为弦AB的中点，可得直线与过圆心和点的直线垂直，可求的斜率，然后用点斜式求出的方程
【详解】由题意知圆的圆心为， ，由，得，∴弦所在直线的方程为，整理得.选A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题
9、D
【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.
【详解】当A在圆内时，如图，

,
所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，
，此时，，.
当A在圆外时，如图 ，

因为，
所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，
，此时，，.
综上可知，.
故选：D
10、A
【解析】根据递推关系式得到，进而利用累加法可求得结果
【详解】数列中，，当时，，
，
，
，且，

，
故选：A
11、C
【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
12、D
【解析】因为，所以，，
，，
故选D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意得:
考点：等差数列通项
14、
【解析】根据数学归纳法的步骤即可解答.
【详解】用数学归纳法证明等式：，
验证时，等式左边=.
故答案为：.
15、－1
【解析】由已知及等差数列通项公式、前n项和公式，列方程求基本量即可.
【详解】若公差为，则，可得.
故答案为：.
16、－.
【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以
考点：数列的递推关系式及等差数列的通项公式
【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）过作面，连接，结合题设易知，根据过面外一点在该面上垂线性质知重合，再应用面面垂直的判定证明结论.
（2）面中过作，结合题设构建空间直角坐标系，设并确定相关点坐标，求面、面法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数，最后由棱锥体积公式求体积.
【小问1详解】
由题设，易知：△是等腰直角三角形，即，
将△沿BD折起过程中使直线AB与平面BCD所成的角为45°，此时过作面，连接，如下图示，

所以，在△中，又且面，
因为过平面外一点有且只有一条垂线段，故重合，此时面，
又面，故平面ABD平面BCD；
【小问2详解】
在平面中过作，由（1）结论可构建如下图示的空间直角坐标系，

由，，，若，
则，故，，，
若是面的一个法向量，则，若，则，
若是面的一个法向量，则，若，则，
所以，由二面角的大小为60°有，解得，
故
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，待定系数即可；
（2）根据题意求得以行驶所用时间，构造费用关于的函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得结果.
【小问1详解】
因为汽车以的速度行驶时，汽车的耗油率为，
又当时，，解得.
【小问2详解】
若汽车的行驶速度为，则从地到地所需用时，
则这次行车的总费用，
则，令，解得，
则当，，单调递减，即.
故时，该次行车总费用最低.
19、（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）连接，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：连接，

在正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，
所以，
在中，、分别为、的中点，所以，，
所以，，
因为平面，平面，所以，平面
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，，
平面，平面，平面
又，所以，平面平面
【小问2详解】
证明：在正方体中，平面，平面，,
因为四边形为正方形，则，
因为，则平面
由知（1）平面平面，所以，平面，
平面，因此，
20、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9
【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；
（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；
（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值
【详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，
因此优秀学生有（人）；
（2）设第一组频率为，则第二组频率为，
所以，，
第一组频率为，第二组频率为
频率分布直方图如下：

（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，
设中位数为，则，
均值为
21、（1）
（2）
【解析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以.
由正弦定理得，可得，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由的面积，所以.
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
22、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.
【详解】（1）连接交与点，连接
四边形为正方形，点为的中点
又点为的中点，
平面，平面
平面

（2）连接
由勾股定理可知，
，则

同理可证，
平面
平面

（3）建立如下图所示的空间直角坐标系

显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为
由（2）可知平面，即平面的法向量为

又二面角是钝角
二面角的余弦值为

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.