湖北省黄冈市麻城实验高中2025-2026学年高二上数学期末考试模拟试题含解析.doc

湖北省黄冈市麻城实验高中2025-2026学年高二上数学期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数，则的值为（）
A. B.0
C.1 D.
3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）

A.圆 B.双曲线
C.抛物线 D.椭圆
4．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
5．已知两圆相交于两点，，两圆圆心都在直线上，则值为（）
A. B.
C. D.
6．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）

A. B.
C. D.
8．数列中，，，则（　　）
A.32 B.62
C.63 D.64
9．已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是
A.(1，) B.
C. D.
10．已知，则（）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点，，直线与y轴交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，则a与b的大小关系为________
14．某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，x，8，y，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则______
15．动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.
16．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（1）已知等轴双曲线的上顶点到一条渐近线的距离为，求此双曲线的方程；
（2）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求线段的长
18．（12分）已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为

（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围
19．（12分）已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.

（1）求的值；
（2）如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.
20．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.
（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；
（2）求的长.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
22．（10分）圆的圆心为，且与直线相切，求：
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
2、B
【解析】求导，代入，求出，进而求出.
【详解】，则，即，解得：，故，所以
故选：B
3、D
【解析】根据题意知,所以,故点P的轨迹是椭圆.
【详解】由题意知，关于CD对称，所以，
故，
可知点P的轨迹是椭圆.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，属于中档题.
4、C
【解析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果
【详解】函数的定义域为，若为奇函数，则
则，即，
所以，
所以函数，可得；
所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
5、A
【解析】由相交弦的性质，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上；由与直线垂直，可得，解可得的值，即可得的坐标，进而可得中点的坐标，代入直线方程可得；进而将、相加可得答案
【详解】根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，
可得与直线垂直，且的中点在这条直线上；
由与直线垂直，可得，解可得，
则，
故中点为，且其在直线上，
代入直线方程可得，1，可得；
故；
故选：A
【点睛】方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答.
6、C
【解析】求出圆心到直线距离 ，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.
【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，
因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，
即的取值范围是：.
故选：C
7、B
【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】，所以实数组
故选：B
8、C
【解析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为；
9、D
【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D
10、B
【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.
【详解】.
故选：B.
11、B
【解析】由题意可设且，即得a、b的数量关系，进而求双曲线C的渐近线方程.
【详解】由题设，，，又，P为双曲线C上一点，
∴，又，为的中点，
∴，即，
∴双曲线C的渐近线方程为.
故选：B.
12、D
【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.
【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.
故选：D
【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、a＞b
【解析】构造函数F(x)＝xf(x)，利用F(x)的单调性求解即可.
【详解】设函数F(x)＝xf(x)，
∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，
∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，
又∵30.3＞1，logπ3＜1，
∴30.3＞logπ3，
∴F(30.3)＞F(logπ3)，
∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，
∴a＞b.
故答案为：a＞b.
14、1
【解析】根据平均数和方差的计算公式，求得，则问题得解.
【详解】由题可知：整理得：；
，
整理得：，联立方程组得，
解得或，对应或，故.
故答案为：1.
15、##
【解析】设，中点，根据中点坐标公式求出，代入圆的标准方程即可得出结果.
【详解】设，中点，则，即，
因为在圆上，代入得
故答案为：.
16、
【解析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a，即可确定实轴长.
【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，
所以，由相切关系知：，可得，又，即，
所以双曲线的实轴长为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）8.
【解析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，再由点到直线距离公式求解即可；
（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.
【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，
可得，
解得，故双曲线方程
（2）抛物线的焦点为
直线的方程为，即
与抛物线方程联立，得，
消，整理得，设其两根为，，且
由抛物线的定义可知，
所以，线段的长是
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
18、（1）；
（2）[，3].
【解析】（1）由题可得，即求；
（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由题可得，
∴𝑎 = 2 ，𝑏 =
∴椭圆 C 的方程为：；
小问2详解】
当直线 MN 斜率为 0 时，不妨取直线 MN 为𝑦 = ，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率不存在，不妨取直线 MN 为x=，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，，
因为直线MN 与圆相切，
所以，即，
又因为直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点：
由，得，
则，
所以 MN 中点 T 坐标为，
则，

，
所以
又，当且仅当，即 取等号，
∴|OT||MN|；
综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）将代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，即可解得正数的值；
（2）将代入，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点的坐标，分、两种情况讨论，在时，推导出、、重合，可得出；在时，求出的中点的坐标，利用斜率关系可得出，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.
【小问1详解】
解：将代入得，
设、，则，由韦达定理可得，
则，
解得或（舍），故.
【小问2详解】
解：将代入中得，
设、，则，由韦达定理可得，
对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，
即，①
同理抛物线在点处的切线方程为，②
联立①②得，所以，所以点的坐标为，
当时，即切线与交于轴上一点，
此时、、重合，由，则，
又，则存在使得成立；
当时，切线与轴交于点，切线与轴交于点，
由，得的中点，
由得，即，
又，所以，所以，，
又，所以存在实数使得成立.
综上，命题成立.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.
（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.
【详解】（1）因为曲线（为参数），
所以曲线的普通方程为：.
（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，得.
，.
所以.
21、（1）
（2）存在，
【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.
【小问1详解】
，
，
，，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由已知可得，，，∴，∵，
设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得
，设，，
则，，
∵，∴.
即，
因为，，
即.
.
所以，或.
又时，直线过点，不合要求，所以.
故存在直线：满足题设条件.
22、（1）
（2）或
【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求；
当直线的斜率不存在时，求得弦长为，满足题意；当直线的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求，则直线方程可求
【小问1详解】
由题意得：
圆的半径为，
则圆的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即
圆心到直线的距离，则，
解得
直线的方程为
直线的方程为或