河北衡中同卷2025-2026学年数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

河北衡中同卷2025-2026学年数学高二第一学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
2．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）
A.5 B.
C.3 D.
3．已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知空间向量，，若，则实数的值是（）
A. B.0
C.1 D.2
5．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f ¢(x)的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
7．已知函数，则（）
A.函数的极大值为，无极小值 B.函数的极小值为，无极大值
C.函数的极大值为0，无极小值 D.函数的极小值为0，无极大值
8．已知函数，在上随机任取一个数，则的概率为（）
A. B.
C. D.
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）
A.-18 B.-6
C. D.
10．数列满足，，，则数列的前8项和为（）
A.25 B.26
C.27 D.28
11．如图，已知正方体，点P是棱中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题
12．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．两条平行直线与的距离是__________
14．圆关于y轴对称的圆的标准方程为___________.
15．已知数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为__________________
16．若向量，且夹角的余弦值为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；
（2）估计这组数据的平均数；
（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
18．（12分）已知定点，动点与连线的斜率之积.
（1）设动点的轨迹为，求的方程；
（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
19．（12分）已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）任意，恒成立，求的取值范围.
21．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且
（1）求抛物线C的方程：
（2）若以点为圆心，为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点
22．（10分）已知直线与抛物线交于两点
（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；
（2）若交于，求的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故选：D
2、B
【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.
【详解】由，
所以该圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以圆心在直线上，故，
因此，，所以有，
所以，
故选：B
3、B
【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分离参数求解即可.
【详解】由得，，解得，
因为，所以
所以可得在上恒成立，
即在上恒成立，故只需，
，当时，，故
故选：B
4、C
【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此有.
故选：C
5、C
【解析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，
首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，
因此，位的回文数共有个.
故选：C.
6、D
【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
7、A
【解析】利用导数来求得的极值.
【详解】的定义域为，
，
在递增；在递减，
所以的极大值为，没有极小值.
故选：A
8、A
【解析】先解不等式，然后由区间长度比可得.
【详解】解不等式，得，
所以，即的概率为.
故选：A
9、A
【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.
【详解】由题设，，，则，
又，，
所以.
故选：A
10、C
【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.
【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.
故选：C
11、A
【解析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；
②一组邻边与对角面夹角相等，在平面内绕P转动，可以得到二条直线与a、b的夹角都等于.
【详解】如下图所示，在侧面正方形和再延伸一个正方形和，则平面和在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即与a、b相交，故①为真命题；
取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于与b的夹角.由于平面，平面，，所以平面，所以与与b的夹角都为 .又因为平面，所以与与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面内存在一条直线，使得与与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面内存在一条直线，使得与与的夹角都为；故②为真命题.
故选：A

12、C
【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.
【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，
所以是直角三角形，即.
由双曲线定义知，又因为，
所以.
在中，由勾股定理得，
化简得，所以.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】根据两平行直线，可求得a值，根据两平行线间距离公式，即可得答案.
【详解】因为两平行直线与，
所以，解得，
所以两平行线的距离.
故答案为：5
14、
【解析】根据题意可得圆心坐标为，半径为1，利用平面直角坐标系点关于坐标轴对称特征可得所求的圆心坐标为，半径为1，进而得出结果.
【详解】由题意知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设圆关于y轴对称的圆为，
所以，半径为1，
所以的标准方程为.
故答案为：
15、 ①.13 ②.##3.4
【解析】由题可得利用函数的单调性可得取得最大值时n的值，然后利用，即求.
【详解】∵，
∴当时，单调递减且，当时，单调递减且，
∴时，取得最大值，
∴.
故答案为：13；.
16、
【解析】根据求解即可.
【详解】，

故答案为：
【点睛】本题主要考查了求空间中两个向量的夹角，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）77（3）
【解析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图得，解得，
所以图中值是0.020.
【小问2详解】
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
【小问3详解】
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
18、（1）；
（2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【解析】(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.
(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.
【小问1详解】
设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，
依题意，，化简整理得：，
所以的方程是：.
【小问2详解】
由(1)知，令是上任意一点，则点，
直线：，则点，直线：，则点，
以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，
当点Q与M，N之一重合时，也成立，
因此，以MN为直径的圆的方程为：，
化简整理得：，而，即，
则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，
即圆恒过两个定点和，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【点睛】知识点睛：以点为直径两个端点的圆的方程是：.
19、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
【小问2详解】
，
，
，
.
20、（1）的递增区间为，递减区间为
（2）
【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；
(2)将不等式转化为，令，
利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.
【小问1详解】
函数的定义域为，又
当时，，当时，
故的递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
，即，
令，
有，，
若，在上恒成立.则在上为减函数，
所以有
若，由 ，可得，则在上增，
所以在上存在使得，与题意不符合
综上所述， .
21、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）解方程和即得解；
（2）设，，将与圆P的方程联立得到韦达定理，再写出直线的方程即得解.
【小问1详解】
解：因为抛物线C上一点，且，
所以到抛物线C的准线的距离为2
则，，
则，所以，故抛物线C的方程为
【小问2详解】
证明：由（1）知，则圆P的方程为
设，，将与圆P的方程联立，可得，
则，
当时，，不妨令，
则，此时；
当时，直线DE的斜率为，
则直线DE的方程为，
即，
即，令且，得，直线过点；
综上，直线DE过定点
22、（1）6（2）2
【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；
（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.
【小问1详解】
取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，
在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，
EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，
所以AB=2EH=6.
【小问2详解】
设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），
得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，
由得，
所以，
由，得，即，
即，可得，
即，所以p=2.