2025年河南省新蔡县第一高级中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年河南省新蔡县第一高级中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列中，，，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
2．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
3．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）
A.9 B.8
C.7 D.6
4．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
5．设双曲线（）的焦距为12，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A. B.2
C.1 D.4
7．已知数列{}满足，则（）
A. B.
C. D.
8．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）
A. B.
C. D.
9．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
10．如图，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，，，则（ ）

A.1 B.
C.2 D.
11．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
12．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，复数，，若是纯虚数，则的虛部为_________.
14．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
15．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______
16．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点P，使得
④当时，有且仅有一个点P，使得平面
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为，求实数k的取值范围
18．（12分）设函数
（1）若曲线在点处的切线方程为，求；
（2）求函数的单调区间
19．（12分）已知等差数列满足：，
（1）求数列的通项公式，以及前n项和公式；
（2）若，求数列的前n项和
20．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值
22．（10分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.
【详解】∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得.
故选：C.
2、A
【解析】求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后求解切线的斜率即可
【详解】解：函数，可得，
，可得，
即，所以，
可得，解得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为
故选：A
3、A
【解析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
4、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.
5、B
【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.
【详解】因为可化为，
所以，则.
故选：B.
【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.
6、B
【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，解之可得值
【详解】解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
7、B
【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，
.
故选：B
8、C
【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.
【详解】由，则，可得.
故选：C.
9、B
【解析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.
【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，
所以，
因此上述命题得个充分不必要条件是.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
10、B
【解析】根据向量的线性运算，将向量表示为，再根据向量的数量积的运算进行计算可得答案,
【详解】因为，
所以
= ，
故选：B.
11、A
【解析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.
【详解】椭圆中：，
设则，则，，

令，则它对应直线
由整理得
由判别式解得
即，则的最小值为
故选：A
12、D
【解析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可
【详解】解：设双曲线的方程为
由已知得：，，
再由，，
双曲线的方程为：
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由复数除法的运算法则求出，又是纯虚数，可求出，从而根据共轭复数及虚部的定义即可求解.
【详解】解：因为复数，，所以，
又是纯虚数，所以，
所以，所以
所以的虛部为，
故答案：.
14、
【解析】设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：
15、16
【解析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.
【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16
故答案为：16
16、②④
【解析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.
【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点，
①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；

②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；

③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；

④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.

故选：②④
【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】（1）设圆心为，由题意及圆的弦长公式即可列方程组，解方程组即可；
（2）由题意可将问题转化为圆心到直线l：的距离，解不等式即可.
【详解】解：（1）设圆心为，半径为r，根据题意得，
解得，
所以圆C的方程为或
（2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为，
由圆C上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，可知圆心到直线l：的距离
即，所以，
解得
所以直线l斜率的取值范围为
18、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；
（2）对分类讨论，求出的单调区间.
【小问1详解】
由于切点在切线上，所以，函数通过点

又，根据导数几何意义，
；
【小问2详解】
由可知
当时，则；
当时，则；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
19、（1） ， （2）
【解析】（1）由，，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式，利用公式可得.
（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得 ，
所以数列的通项公式.

（2）由（1）知，
可得，
所以数列的前项和：
.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，解答本题的关键是将的通项裂成两项的差，利用裂项相消求和，属于中档题.
20、（1），
（2）
【解析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.
利用求得；
（2）利用错位相减求和即可.
【小问1详解】
设数列公差为，由成等比数列有：
，解得：，
所以，
数列，
当即，，解得：，
当时，有，所以，
得：.又，
所以数列为以为首项，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
，
，
，
得，
，
化简得：.
21、 (1)详见解析(2) m为－时，截得的弦长最小，最小值为2
【解析】（1）将直线l变形，可知直线l过定点，证明定点在圆内部；（2）利用垂径定理和弦长公式可得.
【详解】(1)证明：直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0
令 解得,

如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)
而|AC|＝ ＝<3(半径)
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交
(2)解:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
此时kl·kAC＝－1，即,∴m＝－
最小值为
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2
【点睛】考查直线过定点、点与圆的位置关系以及弦长问题，解题的关键是直线系形式的转化.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；
（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.
【小问1详解】
由题意知的离心率为，整理得，
又因为经过点，所以，解得，
所以，
因此，的方程为.
小问2详解】
由已知可得，
当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，
此时有或.
当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，
，，，
由得，
所以，，
所以，
用替换可得.
所以，
综上所述，的取值范围为.