吉林省通榆县第一中2026届数学高二第一学期期末达标检测试题含解析.doc

吉林省通榆县第一中2026届数学高二第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（）
A.或 B.或
C. D.
2．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
3．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
4．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）
A. B.
C. D.
5．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）

A. B.
C. D.
6．已知数列为等比数列，，则的值为（）
A. B.
C. D.2
7．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A.192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
10．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是
A. B.
C. D.
11．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：

①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若圆与圆相交，则的取值范围是__________.
14．在正项等比数列中，，，则的公比为___________.
15．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____
16．设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.
19．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.
20．（12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；
21．（12分）设命题对于任意，不等式恒成立．命题实数a满足
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围
22．（10分）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以直线：过定点，
由可得，
作出图象如图所示：

，，
若直线与线段相交，则或，解得或，
所以实数的取值范围是或，
故选：A.
2、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
3、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D
4、D
【解析】根据求解即可.
【详解】因为等比数列，，
所以.
故选：D
5、C
【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积
【详解】双曲线的方程为：，，
设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.
又为的中点，，
又，，
的面积为：.
故选:C
6、B
【解析】根据等比数列的性质计算.
【详解】由等比数列的性质可知，且等比数列奇数项的符号相同，所以，
即.
故选：B
7、B
【解析】A.利用正切函数的性质判断； B.作出的图象判断； C.作出的图象判断； D.作出的图象判断.
【详解】A.是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
B.如图所示：，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；
C.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
D.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
故选：B
8、C
【解析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.
【详解】，
，所以，所以
故选：C
9、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
10、A
【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度
【详解】对求导，得，，
因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A
【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题
11、C
【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.
【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.
故选：C
12、D
【解析】根据曲率的定义依次判断即可.
【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；
②由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；
③设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
圆，即的圆心为，半径为，
由于两圆相交，故，即，
解得，即的取值范围是，
故答案为：
14、3
【解析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.
【详解】由题设，等比数列公比，且，
所以，可得或（舍），
故公比为3.
故答案为：3
15、
【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.
【详解】正方形的面积为，如下图所示：

阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.
【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.
16、##0.4
【解析】应用等比中项的性质及等差数列通项公式求公差d，进而写出等差数列的通项公式、前n项和公式，再求目标式的最小值.
【详解】由题设，，则，整理得，又，
解得，故，，
所以，故当时目标式有最小值为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;
（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.
【详解】（1）.
，.
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，
代入点得，，.
所以曲线过点的切线方程为，
即.
18、 (1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求.
试题解析：
（1）由，可得椭圆方程.
（2）设的方程为，代入并整理得：
.
设，，则，
同理
则
.
所以，是定值.
考点：椭圆的标准方程几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用
【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识及直线与椭圆的位置关系等知识的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,进而求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助二次方程中根与系数之间的关系，依据坐标之间的关系进行计算探求，从而使得问题获解.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.
（2）首先设，，再根据求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为3，可得，解得.
20、（1）（2）
【解析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；
（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.
【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，
所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.
（2）由题意，圆心到直线l的距离为，
所以P到直线的距离的最小值为.
【点睛】本题主要考查了圆标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
21、（1）
（2）
【解析】(1)由即可获解
(2)p、q一真一假,分情况讨论即可
【小问1详解】
由命题为真,得任意,不等式恒成立
所以
即
所以实数的取值范围为
【小问2详解】
由命题为真,得
因为“或”为真,“且”为假,所以p、q一真一假
若真假,则,即
若假真,即
所以实数的取值范围为
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；
（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，联立方程结合韦达定理可得A点坐标，同理可得B点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.
【详解】（Ⅰ）由抛物线方程可得焦点为，
则椭圆C的一个顶点为，即.
由，解得.
∴椭圆C的标准方程是；
（Ⅱ）由题可知点，
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为，
设，，直线AP的方程为，即.
联立方程组
消去y得.
∵P，A为直线AP与椭圆C的交点，
∴，即.
把换成，得.
∴，解得，
当时，直线BP的方程为，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当时，直线BP的方程为，符合题意.
∴直线AP得方程为.
【点睛】关键点点睛：两条直线关于直线对称，两直线的倾斜角互补，斜率互为相反数.