江西省寻乌中学2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

江西省寻乌中学2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别表示随机事件发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（ ）
A 事件同时发生
B.事件至少有一个发生
C.事件都不发生
D 事件至多有一个发生
2．已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．若变量x，y满足约束条件，则目标函数最大值为（）
A.1 B.-5
C.-2 D.-7
4．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. B.3
C.6 D.
5．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（）
A.，平行 B.，垂直
C.，重合 D.，相交不垂直
6．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点.
乙：该圆半径为.
丙：该圆的圆心为.
丁：该圆经过点，
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
7．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）
A. B.
C. D.
8．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）
A B.
C. D.
10．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（ ）
A.1.63 B.1.67
C.1.64 D.1.65
11．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A.9 B.7
C.5 D.3
12．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）
A. B.
C. D.与相交但不垂直
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.
14．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）
15．已知数列 {an}满足，则 __________
16．设，满足约束条件，则的最大值是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：

（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上
18．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.

（1）求n的值；
（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；
（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.
20．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值
21．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值
22．（10分）已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】表示事件至少有一个发生概率，据此得到答案.
【详解】分别表示随机事件发生的概率，
表示事件至少有一个发生的概率，故表示事件都不发生的概率.
故选：C.
2、A
【解析】由，可得等比数列公比q=2，利用等比数列求和公式和通项公式即可求.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
.
故选：A.
3、A
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可
【详解】解：由得
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分

平移直线，由图象可知当直线，过点时取得最大值，
由，解得，所以
代入目标函数，得，
故选：A
4、C
【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，

又，，
两式相减，可得：，，
.，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力
5、B
【解析】根据可判断两平面垂直.
【详解】因为，所以，所以，垂直.
故选：B.
6、D
【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.
【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.
故选：D
7、C
【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可
【详解】从到成立时，左边增加的项为，
因此增加的项数是，
故选：C
8、A
【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.
【详解】当,故命题是真命题，
，故命题是真命题.
因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.
故选:A
9、B
【解析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，
，求导，令，得
当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图像，如图所示，

由图可知，实数的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10、D
【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.
【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，
∴中位数为.
故选：D.
11、A
【解析】根据椭圆定义求得即可.
【详解】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.
故选：A
12、B
【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.
【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，
所以，则，且切线斜率，即，
所以切线方程或，整理得或.
故答案为：或.
14、 ①.6； ②..
【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论
【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，
由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，
即
所以
故答案为：6；
15、2019
【解析】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.
【详解】由知

故
所以

故答案为：2019
16、5
【解析】由题可知表示点与点连线的斜率，再画出可行域结合图像知知.
【详解】x，y满足约束条件，满足的可行域如图：

则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值
由 可得A（﹣2，3），
则的最大值是：
故答案为5
【点睛】(1)在平面直角坐标系内作出可行域
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由平行关系转化，可得，即可证明四点共面；（2）由条件证明与的交点既在平面上，又在平面上，即可证明.
【详解】证明（1）∵，∴
∵，分别为，的中点，
∴，∴，∴，，，四点共面
（2）∵，不是，的中点，
∴，且，故为梯形
∴与必相交，设交点为，
∴平面，平面，
∴平面，且平面，
∴，即与的交点在直线上
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解
（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解
（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解
【小问1详解】
解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，
所以，解得
【小问2详解】
解：设这辆小汽车车速的中位数为，
则，解得
小问3详解】
解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，
由直方图可知，小车速度在之间有辆，
由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，
小车速度在之间有辆，
故估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚放的概率为
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据已知条件求出、、的值，可得出椭圆的标准方程；
（2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，然后化简直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：椭圆上顶点到焦点距离，
又椭圆离心率为，故，，
因此，椭圆方程为.
【小问2详解】
解：设、，由题意可知且，
椭圆的右顶点为，则，，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以有，则，
即，
联立，
，即，①
由韦达定理得，，
所以，，
化简得，即或，均满足①式.
当时，直线，恒过定点，舍去；
当时，直线，恒过定点.
综上所述，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
解法1：
如图，连接交于点O，连接OD，

因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，
因为D为BC的中点，所以在中，，
因为平面，平面，所以平面平面
解法2：
因为在三棱柱中，面ABC，，
所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为，
所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，

∴，平面，所以平面；
【小问2详解】
设与平面所成角为，
由(1)知平面法向量为，
F为中点，∴，，
∴
即与平面所成角正弦值为.
21、，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元
【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元
22、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.
【详解】（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.